Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13814 / 8702
↖ ↑ ↗
← N 78.632171°
W104.117432°		 ← 120.39 m → N 78.632171°
W104.111939°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
N 78.631089°
W104.117432°		 ← 120.40 m →
14 497 m²		 N 78.631089°
W104.111939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210792541503906 y=0.132789611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210792541503906 × 216)
    floor (0.210792541503906 × 65536)
    floor (13814.5)     		tx = 13814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132789611816406 × 216)
    floor (0.132789611816406 × 65536)
    floor (8702.5)     		ty = 8702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13814 / 8702 ti = "16/13814/8702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13814/8702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13814 ÷ 216
    13814 ÷ 65536     		x = 0.210784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8702 ÷ 216
    8702 ÷ 65536     		y = 0.132781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.57843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81719199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132781982421875 × 2 - 1) × π
    0.73443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30729885251254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81719199} λ = -1.81719199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30729885251254))-π/2
    2×atan(10.0472488675974)-π/2
    2×1.47159330656327-π/2
    2.94318661312654-1.57079632675     		φ = 1.37239029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81719199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.117432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37239029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.632171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13814 KachelY 8702 -1.81719199 1.37239029 -104.117432 78.632171
    Oben rechts KachelX + 1 13815 KachelY 8702 -1.81709612 1.37239029 -104.111939 78.632171
    Unten links KachelX 13814 KachelY + 1 8703 -1.81719199 1.37237139 -104.117432 78.631089
    Unten rechts KachelX + 1 13815 KachelY + 1 8703 -1.81709612 1.37237139 -104.111939 78.631089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37239029-1.37237139) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37239029-1.37237139) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81719199--1.81709612) × cos(1.37239029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197106889011556 × 6371000     		do = 120.390477191003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81719199--1.81709612) × cos(1.37237139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197125418196232 × 6371000     		du = 120.401794590391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37239029)-sin(1.37237139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197106889011556-0.197125418196232)×R²
    abs(-1.81709612--1.81719199)×1.85291846753199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85291846753199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85291846753199e-05×40589641000000     		ar = 14497.1274753668m²