Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13812 / 4254
↖ ↑ ↗
← N 78.840319°
W 28.256836°		 ← 236.43 m → N 78.840319°
W 28.245850°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
N 78.838192°
W 28.256836°		 ← 236.47 m →
55 919 m²		 N 78.838192°
W 28.245850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421524047851562 y=0.129837036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421524047851562 × 215)
    floor (0.421524047851562 × 32768)
    floor (13812.5)     		tx = 13812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129837036132812 × 215)
    floor (0.129837036132812 × 32768)
    floor (4254.5)     		ty = 4254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13812 / 4254 ti = "15/13812/4254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13812/4254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13812 ÷ 215
    13812 ÷ 32768     		x = 0.4215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4254 ÷ 215
    4254 ÷ 32768     		y = 0.12982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49317482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12982177734375 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32589836956512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49317482} λ = -0.49317482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32589836956512))-π/2
    2×atan(10.2358715519809)-π/2
    2×1.47340973771112-π/2
    2.94681947542225-1.57079632675     		φ = 1.37602315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49317482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.256836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37602315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.840319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13812 KachelY 4254 -0.49317482 1.37602315 -28.256836 78.840319
    Oben rechts KachelX + 1 13813 KachelY 4254 -0.49298308 1.37602315 -28.245850 78.840319
    Unten links KachelX 13812 KachelY + 1 4255 -0.49317482 1.37598603 -28.256836 78.838192
    Unten rechts KachelX + 1 13813 KachelY + 1 4255 -0.49298308 1.37598603 -28.245850 78.838192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37602315-1.37598603) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37602315-1.37598603) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49317482--0.49298308) × cos(1.37602315) × R
    0.000191739999999996 × 0.193544005603039 × 6371000     		do = 236.42862315829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49317482--0.49298308) × cos(1.37598603) × R
    0.000191739999999996 × 0.193580423589698 × 6371000     		du = 236.473110480008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37602315)-sin(1.37598603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193544005603039-0.193580423589698)×R²
    abs(-0.49298308--0.49317482)×3.64179866586267e-05×R²
    0.000191739999999996×3.64179866586267e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.64179866586267e-05×40589641000000     		ar = 55918.624905972m²