Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13811 / 4274
↖ ↑ ↗
← N 78.797712°
W 28.267822°		 ← 237.33 m → N 78.797712°
W 28.256836°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
N 78.795577°
W 28.267822°		 ← 237.38 m →
56 344 m²		 N 78.795577°
W 28.256836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421493530273438 y=0.130447387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421493530273438 × 215)
    floor (0.421493530273438 × 32768)
    floor (13811.5)     		tx = 13811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130447387695312 × 215)
    floor (0.130447387695312 × 32768)
    floor (4274.5)     		ty = 4274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13811 / 4274 ti = "15/13811/4274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13811/4274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13811 ÷ 215
    13811 ÷ 32768     		x = 0.421478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4274 ÷ 215
    4274 ÷ 32768     		y = 0.13043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.15704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49336657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    0.7391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32206341759552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49336657} λ = -0.49336657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32206341759552))-π/2
    2×atan(10.1966926488344)-π/2
    2×1.47303792273297-π/2
    2.94607584546594-1.57079632675     		φ = 1.37527952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49336657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.267822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37527952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.797712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13811 KachelY 4274 -0.49336657 1.37527952 -28.267822 78.797712
    Oben rechts KachelX + 1 13812 KachelY 4274 -0.49317482 1.37527952 -28.256836 78.797712
    Unten links KachelX 13811 KachelY + 1 4275 -0.49336657 1.37524226 -28.267822 78.795577
    Unten rechts KachelX + 1 13812 KachelY + 1 4275 -0.49317482 1.37524226 -28.256836 78.795577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37527952-1.37524226) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dl = 237.383460000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37527952-1.37524226) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dr = 237.383460000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49336657--0.49317482) × cos(1.37527952) × R
    0.000191749999999991 × 0.194273521165113 × 6371000     		do = 237.332158690996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49336657--0.49317482) × cos(1.37524226) × R
    0.000191749999999991 × 0.194310071130324 × 6371000     		du = 237.376809563084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37527952)-sin(1.37524226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194273521165113-0.194310071130324)×R²
    abs(-0.49317482--0.49336657)×3.65499652106582e-05×R²
    0.000191749999999991×3.65499652106582e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.65499652106582e-05×40589641000000     		ar = 56344.0286948571m²