Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13811 / 10730
↖ ↑ ↗
← N 52.629729°
W 28.267822°		 ← 741.49 m → N 52.629729°
W 28.256836°		 →
↑
741.52 m
↓
↑
741.52 m
↓
N 52.623060°
W 28.267822°		 ← 741.60 m →
549 872 m²		 N 52.623060°
W 28.256836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421493530273438 y=0.327468872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421493530273438 × 215)
    floor (0.421493530273438 × 32768)
    floor (13811.5)     		tx = 13811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327468872070312 × 215)
    floor (0.327468872070312 × 32768)
    floor (10730.5)     		ty = 10730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13811 / 10730 ti = "15/13811/10730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13811/10730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13811 ÷ 215
    13811 ÷ 32768     		x = 0.421478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10730 ÷ 215
    10730 ÷ 32768     		y = 0.32745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.15704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49336657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32745361328125 × 2 - 1) × π
    0.3450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08414092180719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49336657} λ = -0.49336657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08414092180719))-π/2
    2×atan(2.95689852027162)-π/2
    2×1.24467918997017-π/2
    2.48935837994035-1.57079632675     		φ = 0.91856205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49336657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.267822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91856205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.629729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13811 KachelY 10730 -0.49336657 0.91856205 -28.267822 52.629729
    Oben rechts KachelX + 1 13812 KachelY 10730 -0.49317482 0.91856205 -28.256836 52.629729
    Unten links KachelX 13811 KachelY + 1 10731 -0.49336657 0.91844566 -28.267822 52.623060
    Unten rechts KachelX + 1 13812 KachelY + 1 10731 -0.49317482 0.91844566 -28.256836 52.623060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91856205-0.91844566) × R
    0.000116389999999966 × 6371000     		dl = 741.520689999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91856205-0.91844566) × R
    0.000116389999999966 × 6371000     		dr = 741.520689999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49336657--0.49317482) × cos(0.91856205) × R
    0.000191749999999991 × 0.606963565271618 × 6371000     		do = 741.490514655709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49336657--0.49317482) × cos(0.91844566) × R
    0.000191749999999991 × 0.60705605974523 × 6371000     		du = 741.603509535082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91856205)-sin(0.91844566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606963565271618-0.60705605974523)×R²
    abs(-0.49317482--0.49336657)×9.2494473612259e-05×R²
    0.000191749999999991×9.2494473612259e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.2494473612259e-05×40589641000000     		ar = 549872.452697521m²