Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13809 / 4202
↖ ↑ ↗
← N 78.950349°
W 28.289795°		 ← 234.14 m → N 78.950349°
W 28.278809°		 →
↑
234.13 m
↓
↑
234.13 m
↓
N 78.948244°
W 28.289795°		 ← 234.18 m →
54 825 m²		 N 78.948244°
W 28.278809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421432495117188 y=0.128250122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421432495117188 × 215)
    floor (0.421432495117188 × 32768)
    floor (13809.5)     		tx = 13809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128250122070312 × 215)
    floor (0.128250122070312 × 32768)
    floor (4202.5)     		ty = 4202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13809 / 4202 ti = "15/13809/4202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13809/4202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13809 ÷ 215
    13809 ÷ 32768     		x = 0.421417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4202 ÷ 215
    4202 ÷ 32768     		y = 0.12823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.15716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49375007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12823486328125 × 2 - 1) × π
    0.7435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3358692446861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49375007} λ = -0.49375007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3358692446861))-π/2
    2×atan(10.3384426610537)-π/2
    2×1.4743699345346-π/2
    2.94873986906921-1.57079632675     		φ = 1.37794354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49375007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37794354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.950349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13809 KachelY 4202 -0.49375007 1.37794354 -28.289795 78.950349
    Oben rechts KachelX + 1 13810 KachelY 4202 -0.49355832 1.37794354 -28.278809 78.950349
    Unten links KachelX 13809 KachelY + 1 4203 -0.49375007 1.37790679 -28.289795 78.948244
    Unten rechts KachelX + 1 13810 KachelY + 1 4203 -0.49355832 1.37790679 -28.278809 78.948244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37794354-1.37790679) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dl = 234.13425000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37794354-1.37790679) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dr = 234.13425000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49375007--0.49355832) × cos(1.37794354) × R
    0.000191749999999991 × 0.19165957138771 × 6371000     		do = 234.138855045392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49375007--0.49355832) × cos(1.37790679) × R
    0.000191749999999991 × 0.191695639967143 × 6371000     		du = 234.182917837719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37794354)-sin(1.37790679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19165957138771-0.191695639967143)×R²
    abs(-0.49355832--0.49375007)×3.60685794330573e-05×R²
    0.000191749999999991×3.60685794330573e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.60685794330573e-05×40589641000000     		ar = 54825.0835327634m²