Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13807 / 11151
↖ ↑ ↗
← N 49.731581°
W 28.311768°		 ← 789.63 m → N 49.731581°
W 28.300781°		 →
↑
789.69 m
↓
↑
789.69 m
↓
N 49.724479°
W 28.311768°		 ← 789.75 m →
623 605 m²		 N 49.724479°
W 28.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421371459960938 y=0.340316772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421371459960938 × 215)
    floor (0.421371459960938 × 32768)
    floor (13807.5)     		tx = 13807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340316772460938 × 215)
    floor (0.340316772460938 × 32768)
    floor (11151.5)     		ty = 11151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13807 / 11151 ti = "15/13807/11151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13807/11151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13807 ÷ 215
    13807 ÷ 32768     		x = 0.421356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11151 ÷ 215
    11151 ÷ 32768     		y = 0.340301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.15728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49413356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340301513671875 × 2 - 1) × π
    0.31939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00341518284702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49413356} λ = -0.49413356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00341518284702))-π/2
    2×atan(2.72758112829909)-π/2
    2×1.21938807814381-π/2
    2.43877615628762-1.57079632675     		φ = 0.86797983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49413356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.311768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86797983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.731581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13807 KachelY 11151 -0.49413356 0.86797983 -28.311768 49.731581
    Oben rechts KachelX + 1 13808 KachelY 11151 -0.49394181 0.86797983 -28.300781 49.731581
    Unten links KachelX 13807 KachelY + 1 11152 -0.49413356 0.86785588 -28.311768 49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 13808 KachelY + 1 11152 -0.49394181 0.86785588 -28.300781 49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86797983-0.86785588) × R
    0.000123949999999984 × 6371000     		dl = 789.685449999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86797983-0.86785588) × R
    0.000123949999999984 × 6371000     		dr = 789.685449999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49413356--0.49394181) × cos(0.86797983) × R
    0.000191750000000046 × 0.646369304782345 × 6371000     		do = 789.630112717515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49413356--0.49394181) × cos(0.86785588) × R
    0.000191750000000046 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 789.745645521629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86797983)-sin(0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646369304782345-0.646463876730745)×R²
    abs(-0.49394181--0.49413356)×9.45719483997909e-05×R²
    0.000191750000000046×9.45719483997909e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.45719483997909e-05×40589641000000     		ar = 623605.028979574m²