Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13805 / 3651
↖ ↑ ↗
← N 80.052357°
W 28.333740°		 ← 211.04 m → N 80.052357°
W 28.322754°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
N 80.050460°
W 28.333740°		 ← 211.08 m →
44 534 m²		 N 80.050460°
W 28.322754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421310424804688 y=0.111434936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421310424804688 × 215)
    floor (0.421310424804688 × 32768)
    floor (13805.5)     		tx = 13805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111434936523438 × 215)
    floor (0.111434936523438 × 32768)
    floor (3651.5)     		ty = 3651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13805 / 3651 ti = "15/13805/3651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13805/3651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13805 ÷ 215
    13805 ÷ 32768     		x = 0.421295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3651 ÷ 215
    3651 ÷ 32768     		y = 0.111419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.15740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49451706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111419677734375 × 2 - 1) × π
    0.77716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4415221714487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49451706} λ = -0.49451706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4415221714487))-π/2
    2×atan(11.4905179761415)-π/2
    2×1.48398677018511-π/2
    2.96797354037022-1.57079632675     		φ = 1.39717721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49451706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.333740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39717721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.052357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13805 KachelY 3651 -0.49451706 1.39717721 -28.333740 80.052357
    Oben rechts KachelX + 1 13806 KachelY 3651 -0.49432531 1.39717721 -28.322754 80.052357
    Unten links KachelX 13805 KachelY + 1 3652 -0.49451706 1.39714409 -28.333740 80.050460
    Unten rechts KachelX + 1 13806 KachelY + 1 3652 -0.49432531 1.39714409 -28.322754 80.050460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39717721-1.39714409) × R
    3.31199999998866e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39717721-1.39714409) × R
    3.31199999998866e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49451706--0.49432531) × cos(1.39717721) × R
    0.000191749999999991 × 0.172748179688536 × 6371000     		do = 211.035956673558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49451706--0.49432531) × cos(1.39714409) × R
    0.000191749999999991 × 0.172780801668464 × 6371000     		du = 211.075808964651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39717721)-sin(1.39714409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172748179688536-0.172780801668464)×R²
    abs(-0.49432531--0.49451706)×3.26219799281213e-05×R²
    0.000191749999999991×3.26219799281213e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.26219799281213e-05×40589641000000     		ar = 44534.378418863m²