Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13804 / 4412
↖ ↑ ↗
← N 78.499317°
W 28.344726°		 ← 243.56 m → N 78.499317°
W 28.333740°		 →
↑
243.63 m
↓
↑
243.63 m
↓
N 78.497126°
W 28.344726°		 ← 243.60 m →
59 343 m²		 N 78.497126°
W 28.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421279907226562 y=0.134658813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421279907226562 × 215)
    floor (0.421279907226562 × 32768)
    floor (13804.5)     		tx = 13804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134658813476562 × 215)
    floor (0.134658813476562 × 32768)
    floor (4412.5)     		ty = 4412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13804 / 4412 ti = "15/13804/4412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13804/4412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13804 ÷ 215
    13804 ÷ 32768     		x = 0.4212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4412 ÷ 215
    4412 ÷ 32768     		y = 0.1346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49470880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1346435546875 × 2 - 1) × π
    0.730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29560224900525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49470880} λ = -0.49470880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29560224900525))-π/2
    2×atan(9.93041479417842)-π/2
    2×1.470433932359-π/2
    2.940867864718-1.57079632675     		φ = 1.37007154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49470880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.344726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37007154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.499317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13804 KachelY 4412 -0.49470880 1.37007154 -28.344726 78.499317
    Oben rechts KachelX + 1 13805 KachelY 4412 -0.49451706 1.37007154 -28.333740 78.499317
    Unten links KachelX 13804 KachelY + 1 4413 -0.49470880 1.37003330 -28.344726 78.497126
    Unten rechts KachelX + 1 13805 KachelY + 1 4413 -0.49451706 1.37003330 -28.333740 78.497126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37007154-1.37003330) × R
    3.82400000000782e-05 × 6371000     		dl = 243.627040000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37007154-1.37003330) × R
    3.82400000000782e-05 × 6371000     		dr = 243.627040000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49470880--0.49451706) × cos(1.37007154) × R
    0.000191739999999996 × 0.199379617864531 × 6371000     		do = 243.557264357853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49470880--0.49451706) × cos(1.37003330) × R
    0.000191739999999996 × 0.199417089948551 × 6371000     		du = 243.603039339124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37007154)-sin(1.37003330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199379617864531-0.199417089948551)×R²
    abs(-0.49451706--0.49470880)×3.74720840193021e-05×R²
    0.000191739999999996×3.74720840193021e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.74720840193021e-05×40589641000000     		ar = 59342.711404627m²