Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13804 / 10716
↖ ↑ ↗
← N 52.722986°
W 28.344726°		 ← 739.87 m → N 52.722986°
W 28.333740°		 →
↑
739.99 m
↓
↑
739.99 m
↓
N 52.716331°
W 28.344726°		 ← 739.98 m →
547 540 m²		 N 52.716331°
W 28.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421279907226562 y=0.327041625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421279907226562 × 215)
    floor (0.421279907226562 × 32768)
    floor (13804.5)     		tx = 13804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327041625976562 × 215)
    floor (0.327041625976562 × 32768)
    floor (10716.5)     		ty = 10716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13804 / 10716 ti = "15/13804/10716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13804/10716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13804 ÷ 215
    13804 ÷ 32768     		x = 0.4212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10716 ÷ 215
    10716 ÷ 32768     		y = 0.3270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49470880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3270263671875 × 2 - 1) × π
    0.345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08682538818591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49470880} λ = -0.49470880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08682538818591))-π/2
    2×atan(2.96484687871186)-π/2
    2×1.24549300783058-π/2
    2.49098601566115-1.57079632675     		φ = 0.92018969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49470880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.344726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92018969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.722986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13804 KachelY 10716 -0.49470880 0.92018969 -28.344726 52.722986
    Oben rechts KachelX + 1 13805 KachelY 10716 -0.49451706 0.92018969 -28.333740 52.722986
    Unten links KachelX 13804 KachelY + 1 10717 -0.49470880 0.92007354 -28.344726 52.716331
    Unten rechts KachelX + 1 13805 KachelY + 1 10717 -0.49451706 0.92007354 -28.333740 52.716331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92018969-0.92007354) × R
    0.000116149999999982 × 6371000     		dl = 739.991649999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92018969-0.92007354) × R
    0.000116149999999982 × 6371000     		dr = 739.991649999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49470880--0.49451706) × cos(0.92018969) × R
    0.000191739999999996 × 0.605669228073663 × 6371000     		do = 739.870714345452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49470880--0.49451706) × cos(0.92007354) × R
    0.000191739999999996 × 0.605761646462201 × 6371000     		du = 739.983610388335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92018969)-sin(0.92007354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605669228073663-0.605761646462201)×R²
    abs(-0.49451706--0.49470880)×9.2418388537352e-05×R²
    0.000191739999999996×9.2418388537352e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.2418388537352e-05×40589641000000     		ar = 547539.9223757m²