Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13802 / 4184
↖ ↑ ↗
← N 78.988187°
W 28.366699°		 ← 233.35 m → N 78.988187°
W 28.355713°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
N 78.986088°
W 28.366699°		 ← 233.39 m →
54 461 m²		 N 78.986088°
W 28.355713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421218872070312 y=0.127700805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421218872070312 × 215)
    floor (0.421218872070312 × 32768)
    floor (13802.5)     		tx = 13802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127700805664062 × 215)
    floor (0.127700805664062 × 32768)
    floor (4184.5)     		ty = 4184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13802 / 4184 ti = "15/13802/4184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13802/4184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13802 ÷ 215
    13802 ÷ 32768     		x = 0.42120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4184 ÷ 215
    4184 ÷ 32768     		y = 0.127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.1575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49509230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49509230} λ = -0.49509230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33932070145874))-π/2
    2×atan(10.3741869985287)-π/2
    2×1.47470012729446-π/2
    2.94940025458893-1.57079632675     		φ = 1.37860393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49509230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.366699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37860393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.988187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13802 KachelY 4184 -0.49509230 1.37860393 -28.366699 78.988187
    Oben rechts KachelX + 1 13803 KachelY 4184 -0.49490055 1.37860393 -28.355713 78.988187
    Unten links KachelX 13802 KachelY + 1 4185 -0.49509230 1.37856730 -28.366699 78.986088
    Unten rechts KachelX + 1 13803 KachelY + 1 4185 -0.49490055 1.37856730 -28.355713 78.986088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37860393-1.37856730) × R
    3.66299999998709e-05 × 6371000     		dl = 233.369729999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37860393-1.37856730) × R
    3.66299999998709e-05 × 6371000     		dr = 233.369729999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49509230--0.49490055) × cos(1.37860393) × R
    0.000191749999999991 × 0.191011382304673 × 6371000     		do = 233.347001820132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49509230--0.49490055) × cos(1.37856730) × R
    0.000191749999999991 × 0.19104733773843 × 6371000     		du = 233.390926389261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37860393)-sin(1.37856730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191011382304673-0.19104733773843)×R²
    abs(-0.49490055--0.49509230)×3.59554337575341e-05×R²
    0.000191749999999991×3.59554337575341e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.59554337575341e-05×40589641000000     		ar = 54461.2521489192m²