Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 138 / 88
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
W 82.968750°		 ← 19.579 km → N 75.497157°
W 82.265625°		 →
↑
19.696 km
↓
↑
19.696 km
↓
N 75.320025°
W 82.968750°		 ← 19.813 km →
387.944 km²		 N 75.320025°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2705078125 y=0.1728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2705078125 × 29)
    floor (0.2705078125 × 512)
    floor (138.5)     		tx = 138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1728515625 × 29)
    floor (0.1728515625 × 512)
    floor (88.5)     		ty = 88
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 138 / 88 ti = "9/138/88"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/138/88.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 138 ÷ 29
    138 ÷ 512     		x = 0.26953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88 ÷ 29
    88 ÷ 512     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26953125 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44807786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44807786} λ = -1.44807786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44807786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 138 KachelY 88 -1.44807786 1.31767397 -82.968750 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 139 KachelY 88 -1.43580602 1.31767397 -82.265625 75.497157
    Unten links KachelX 138 KachelY + 1 89 -1.44807786 1.31458243 -82.968750 75.320025
    Unten rechts KachelX + 1 139 KachelY + 1 89 -1.43580602 1.31458243 -82.265625 75.320025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31458243) × R
    0.00309154 × 6371000     		dl = 19696.20134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31458243) × R
    0.00309154 × 6371000     		dr = 19696.20134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44807786--1.43580602) × cos(1.31767397) × R
    0.0122718399999999 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 19579.4388869969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44807786--1.43580602) × cos(1.31458243) × R
    0.0122718399999999 × 0.25341986587156 × 6371000     		du = 19813.3515861451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31458243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.25341986587156)×R²
    abs(-1.43580602--1.44807786)×0.00299182723256453×R²
    0.0122718399999999×0.00299182723256453×6371000²
    0.0122718399999999×0.00299182723256453×40589641000000     		ar = 387944475.237249m²