Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 138 / 191
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 14.062500°		 ← 63.734 km → S 65.946472°
E 15.468750°		 →
↑
63.024 km
↓
↑
63.024 km
↓
S 66.513260°
E 14.062500°		 ← 62.318 km →
3 972.19 km²		 S 66.513260°
E 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541015625 y=0.748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541015625 × 28)
    floor (0.541015625 × 256)
    floor (138.5)     		tx = 138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748046875 × 28)
    floor (0.748046875 × 256)
    floor (191.5)     		ty = 191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 138 / 191 ti = "8/138/191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/138/191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 138 ÷ 28
    138 ÷ 256     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 191 ÷ 28
    191 ÷ 256     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 138 KachelY 191 0.24543693 -1.15098306 14.062500 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 139 KachelY 191 0.26998062 -1.15098306 15.468750 -65.946472
    Unten links KachelX 138 KachelY + 1 192 0.24543693 -1.16087539 14.062500 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 139 KachelY + 1 192 0.26998062 -1.16087539 15.468750 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.16087539) × R
    0.00989233 × 6371000     		dl = 63024.03443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.16087539) × R
    0.00989233 × 6371000     		dr = 63024.03443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.26998062) × cos(-1.15098306) × R
    0.02454369 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 63733.9624890893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.26998062) × cos(-1.16087539) × R
    0.02454369 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 62318.3446967277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.398536816226928)×R²
    abs(0.26998062-0.24543693)×0.00905312570010547×R²
    0.02454369×0.00905312570010547×6371000²
    0.02454369×0.00905312570010547×40589641000000     		ar = 3972194866.73379m²