Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13799 / 4283
↖ ↑ ↗
← N 78.778487°
W 28.399658°		 ← 237.73 m → N 78.778487°
W 28.388672°		 →
↑
237.77 m
↓
↑
237.77 m
↓
N 78.776348°
W 28.399658°		 ← 237.78 m →
56 530 m²		 N 78.776348°
W 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421127319335938 y=0.130722045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421127319335938 × 215)
    floor (0.421127319335938 × 32768)
    floor (13799.5)     		tx = 13799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130722045898438 × 215)
    floor (0.130722045898438 × 32768)
    floor (4283.5)     		ty = 4283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13799 / 4283 ti = "15/13799/4283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13799/4283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13799 ÷ 215
    13799 ÷ 32768     		x = 0.421112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4283 ÷ 215
    4283 ÷ 32768     		y = 0.130706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.15777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49566754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130706787109375 × 2 - 1) × π
    0.73858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3203376892092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49566754} λ = -0.49566754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3203376892092))-π/2
    2×atan(10.1791111017346)-π/2
    2×1.47287014910227-π/2
    2.94574029820454-1.57079632675     		φ = 1.37494397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49566754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.399658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37494397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.778487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13799 KachelY 4283 -0.49566754 1.37494397 -28.399658 78.778487
    Oben rechts KachelX + 1 13800 KachelY 4283 -0.49547579 1.37494397 -28.388672 78.778487
    Unten links KachelX 13799 KachelY + 1 4284 -0.49566754 1.37490665 -28.399658 78.776348
    Unten rechts KachelX + 1 13800 KachelY + 1 4284 -0.49547579 1.37490665 -28.388672 78.776348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37494397-1.37490665) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dl = 237.765719999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37494397-1.37490665) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dr = 237.765719999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49566754--0.49547579) × cos(1.37494397) × R
    0.000191749999999991 × 0.194602667121566 × 6371000     		do = 237.734256310378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49566754--0.49547579) × cos(1.37490665) × R
    0.000191749999999991 × 0.194639273508061 × 6371000     		du = 237.778976108921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37494397)-sin(1.37490665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194602667121566-0.194639273508061)×R²
    abs(-0.49547579--0.49566754)×3.66063864954969e-05×R²
    0.000191749999999991×3.66063864954969e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.66063864954969e-05×40589641000000     		ar = 56530.3730442961m²