Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13799 / 4245
↖ ↑ ↗
← N 78.859440°
W 28.399658°		 ← 236.04 m → N 78.859440°
W 28.388672°		 →
↑
236.05 m
↓
↑
236.05 m
↓
N 78.857317°
W 28.399658°		 ← 236.09 m →
55 722 m²		 N 78.857317°
W 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421127319335938 y=0.129562377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421127319335938 × 215)
    floor (0.421127319335938 × 32768)
    floor (13799.5)     		tx = 13799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129562377929688 × 215)
    floor (0.129562377929688 × 32768)
    floor (4245.5)     		ty = 4245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13799 / 4245 ti = "15/13799/4245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13799/4245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13799 ÷ 215
    13799 ÷ 32768     		x = 0.421112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4245 ÷ 215
    4245 ÷ 32768     		y = 0.129547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.15777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49566754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129547119140625 × 2 - 1) × π
    0.74090576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32762409795145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49566754} λ = -0.49566754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32762409795145))-π/2
    2×atan(10.2535511367699)-π/2
    2×1.47357659860567-π/2
    2.94715319721134-1.57079632675     		φ = 1.37635687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49566754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.399658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37635687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.859440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13799 KachelY 4245 -0.49566754 1.37635687 -28.399658 78.859440
    Oben rechts KachelX + 1 13800 KachelY 4245 -0.49547579 1.37635687 -28.388672 78.859440
    Unten links KachelX 13799 KachelY + 1 4246 -0.49566754 1.37631982 -28.399658 78.857317
    Unten rechts KachelX + 1 13800 KachelY + 1 4246 -0.49547579 1.37631982 -28.388672 78.857317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37635687-1.37631982) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dl = 236.045549999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37635687-1.37631982) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dr = 236.045549999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49566754--0.49547579) × cos(1.37635687) × R
    0.000191749999999991 × 0.193216584944608 × 6371000     		do = 236.040963919281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49566754--0.49547579) × cos(1.37631982) × R
    0.000191749999999991 × 0.1932529366466 × 6371000     		du = 236.085372585238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37635687)-sin(1.37631982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193216584944608-0.1932529366466)×R²
    abs(-0.49547579--0.49566754)×3.63517019911774e-05×R²
    0.000191749999999991×3.63517019911774e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.63517019911774e-05×40589641000000     		ar = 55721.6603913144m²