Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13797 / 3809
↖ ↑ ↗
← N 79.747977°
W 28.421631°		 ← 217.43 m → N 79.747977°
W 28.410645°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
N 79.746021°
W 28.421631°		 ← 217.47 m →
47 282 m²		 N 79.746021°
W 28.410645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421066284179688 y=0.116256713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421066284179688 × 215)
    floor (0.421066284179688 × 32768)
    floor (13797.5)     		tx = 13797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116256713867188 × 215)
    floor (0.116256713867188 × 32768)
    floor (3809.5)     		ty = 3809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13797 / 3809 ti = "15/13797/3809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13797/3809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13797 ÷ 215
    13797 ÷ 32768     		x = 0.421051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3809 ÷ 215
    3809 ÷ 32768     		y = 0.116241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.15789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49605104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116241455078125 × 2 - 1) × π
    0.76751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41122605088882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49605104} λ = -0.49605104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41122605088882))-π/2
    2×atan(11.1476203197339)-π/2
    2×1.48133054802221-π/2
    2.96266109604441-1.57079632675     		φ = 1.39186477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49605104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.421631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39186477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.747977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13797 KachelY 3809 -0.49605104 1.39186477 -28.421631 79.747977
    Oben rechts KachelX + 1 13798 KachelY 3809 -0.49585929 1.39186477 -28.410645 79.747977
    Unten links KachelX 13797 KachelY + 1 3810 -0.49605104 1.39183064 -28.421631 79.746021
    Unten rechts KachelX + 1 13798 KachelY + 1 3810 -0.49585929 1.39183064 -28.410645 79.746021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39186477-1.39183064) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dl = 217.442229999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39186477-1.39183064) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dr = 217.442229999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49605104--0.49585929) × cos(1.39186477) × R
    0.000191749999999991 × 0.177978290329916 × 6371000     		do = 217.42526511491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49605104--0.49585929) × cos(1.39183064) × R
    0.000191749999999991 × 0.178011875320804 × 6371000     		du = 217.46629385799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39186477)-sin(1.39183064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177978290329916-0.178011875320804)×R²
    abs(-0.49585929--0.49605104)×3.35849908877084e-05×R²
    0.000191749999999991×3.35849908877084e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.35849908877084e-05×40589641000000     		ar = 47281.8952001919m²