Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13796 / 4244
↖ ↑ ↗
← N 78.861563°
W 28.432617°		 ← 235.98 m → N 78.861563°
W 28.421631°		 →
↑
236.05 m
↓
↑
236.05 m
↓
N 78.859440°
W 28.432617°		 ← 236.03 m →
55 708 m²		 N 78.859440°
W 28.421631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421035766601562 y=0.129531860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421035766601562 × 215)
    floor (0.421035766601562 × 32768)
    floor (13796.5)     		tx = 13796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129531860351562 × 215)
    floor (0.129531860351562 × 32768)
    floor (4244.5)     		ty = 4244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13796 / 4244 ti = "15/13796/4244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13796/4244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13796 ÷ 215
    13796 ÷ 32768     		x = 0.4210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4244 ÷ 215
    4244 ÷ 32768     		y = 0.1295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49624278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1295166015625 × 2 - 1) × π
    0.740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32781584554993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49624278} λ = -0.49624278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32781584554993))-π/2
    2×atan(10.2555174190852)-π/2
    2×1.47359512127127-π/2
    2.94719024254254-1.57079632675     		φ = 1.37639392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49624278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.432617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37639392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.861563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13796 KachelY 4244 -0.49624278 1.37639392 -28.432617 78.861563
    Oben rechts KachelX + 1 13797 KachelY 4244 -0.49605104 1.37639392 -28.421631 78.861563
    Unten links KachelX 13796 KachelY + 1 4245 -0.49624278 1.37635687 -28.432617 78.859440
    Unten rechts KachelX + 1 13797 KachelY + 1 4245 -0.49605104 1.37635687 -28.421631 78.859440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37639392-1.37635687) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dl = 236.045549999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37639392-1.37635687) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dr = 236.045549999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49624278--0.49605104) × cos(1.37639392) × R
    0.000191739999999996 × 0.193180232977388 × 6371000     		do = 235.984247416674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49624278--0.49605104) × cos(1.37635687) × R
    0.000191739999999996 × 0.193216584944608 × 6371000     		du = 236.028654090661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37639392)-sin(1.37635687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193180232977388-0.193216584944608)×R²
    abs(-0.49605104--0.49624278)×3.63519672200718e-05×R²
    0.000191739999999996×3.63519672200718e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.63519672200718e-05×40589641000000     		ar = 55708.2724785625m²