Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13795 / 3612
↖ ↑ ↗
← N 80.126103°
W 28.443603°		 ← 209.49 m → N 80.126103°
W 28.432617°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
N 80.124218°
W 28.443603°		 ← 209.53 m →
43 901 m²		 N 80.124218°
W 28.432617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421005249023438 y=0.110244750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421005249023438 × 215)
    floor (0.421005249023438 × 32768)
    floor (13795.5)     		tx = 13795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110244750976562 × 215)
    floor (0.110244750976562 × 32768)
    floor (3612.5)     		ty = 3612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13795 / 3612 ti = "15/13795/3612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13795/3612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13795 ÷ 215
    13795 ÷ 32768     		x = 0.420989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3612 ÷ 215
    3612 ÷ 32768     		y = 0.1102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.15802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49643453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1102294921875 × 2 - 1) × π
    0.779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44900032778943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49643453} λ = -0.49643453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44900032778943))-π/2
    2×atan(11.5767679594882)-π/2
    2×1.48463031593924-π/2
    2.96926063187848-1.57079632675     		φ = 1.39846431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49643453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.443603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39846431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.126103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13795 KachelY 3612 -0.49643453 1.39846431 -28.443603 80.126103
    Oben rechts KachelX + 1 13796 KachelY 3612 -0.49624278 1.39846431 -28.432617 80.126103
    Unten links KachelX 13795 KachelY + 1 3613 -0.49643453 1.39843142 -28.443603 80.124218
    Unten rechts KachelX + 1 13796 KachelY + 1 3613 -0.49624278 1.39843142 -28.432617 80.124218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39846431-1.39843142) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dl = 209.542189999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39846431-1.39843142) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dr = 209.542189999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49643453--0.49624278) × cos(1.39846431) × R
    0.000191749999999991 × 0.171480287180818 × 6371000     		do = 209.487049421349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49643453--0.49624278) × cos(1.39843142) × R
    0.000191749999999991 × 0.171512689906623 × 6371000     		du = 209.526633862999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39846431)-sin(1.39843142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171480287180818-0.171512689906623)×R²
    abs(-0.49624278--0.49643453)×3.24027258046533e-05×R²
    0.000191749999999991×3.24027258046533e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.24027258046533e-05×40589641000000     		ar = 43900.5224214537m²