Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13793 / 3614
↖ ↑ ↗
← N 80.122334°
W 28.465576°		 ← 209.57 m → N 80.122334°
W 28.454590°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
N 80.120449°
W 28.465576°		 ← 209.61 m →
43 930 m²		 N 80.120449°
W 28.454590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420944213867188 y=0.110305786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420944213867188 × 215)
    floor (0.420944213867188 × 32768)
    floor (13793.5)     		tx = 13793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110305786132812 × 215)
    floor (0.110305786132812 × 32768)
    floor (3614.5)     		ty = 3614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13793 / 3614 ti = "15/13793/3614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13793/3614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13793 ÷ 215
    13793 ÷ 32768     		x = 0.420928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3614 ÷ 215
    3614 ÷ 32768     		y = 0.11029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.15814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49681803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11029052734375 × 2 - 1) × π
    0.7794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44861683259247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49681803} λ = -0.49681803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44861683259247))-π/2
    2×atan(11.5723291757599)-π/2
    2×1.48459742879285-π/2
    2.96919485758569-1.57079632675     		φ = 1.39839853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49681803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.465576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39839853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.122334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13793 KachelY 3614 -0.49681803 1.39839853 -28.465576 80.122334
    Oben rechts KachelX + 1 13794 KachelY 3614 -0.49662628 1.39839853 -28.454590 80.122334
    Unten links KachelX 13793 KachelY + 1 3615 -0.49681803 1.39836563 -28.465576 80.120449
    Unten rechts KachelX + 1 13794 KachelY + 1 3615 -0.49662628 1.39836563 -28.454590 80.120449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39839853-1.39836563) × R
    3.28999999998913e-05 × 6371000     		dl = 209.605899999308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39839853-1.39836563) × R
    3.28999999998913e-05 × 6371000     		dr = 209.605899999308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49681803--0.49662628) × cos(1.39839853) × R
    0.000191750000000046 × 0.171545092446893 × 6371000     		do = 209.566218078054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49681803--0.49662628) × cos(1.39836563) × R
    0.000191750000000046 × 0.171577504653301 × 6371000     		du = 209.60581410158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39839853)-sin(1.39836563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171545092446893-0.171577504653301)×R²
    abs(-0.49662628--0.49681803)×3.24122064073729e-05×R²
    0.000191750000000046×3.24122064073729e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.24122064073729e-05×40589641000000     		ar = 43930.4655337493m²