Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13793 / 10737
↖ ↑ ↗
← N 52.583026°
W 28.465576°		 ← 742.28 m → N 52.583026°
W 28.454590°		 →
↑
742.29 m
↓
↑
742.29 m
↓
N 52.576350°
W 28.465576°		 ← 742.39 m →
551 027 m²		 N 52.576350°
W 28.454590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420944213867188 y=0.327682495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420944213867188 × 215)
    floor (0.420944213867188 × 32768)
    floor (13793.5)     		tx = 13793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327682495117188 × 215)
    floor (0.327682495117188 × 32768)
    floor (10737.5)     		ty = 10737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13793 / 10737 ti = "15/13793/10737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13793/10737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13793 ÷ 215
    13793 ÷ 32768     		x = 0.420928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10737 ÷ 215
    10737 ÷ 32768     		y = 0.327667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.15814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49681803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327667236328125 × 2 - 1) × π
    0.34466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08279868861783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49681803} λ = -0.49681803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08279868861783))-π/2
    2×atan(2.95293233530814)-π/2
    2×1.24427162935957-π/2
    2.48854325871914-1.57079632675     		φ = 0.91774693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49681803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.465576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91774693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.583026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13793 KachelY 10737 -0.49681803 0.91774693 -28.465576 52.583026
    Oben rechts KachelX + 1 13794 KachelY 10737 -0.49662628 0.91774693 -28.454590 52.583026
    Unten links KachelX 13793 KachelY + 1 10738 -0.49681803 0.91763042 -28.465576 52.576350
    Unten rechts KachelX + 1 13794 KachelY + 1 10738 -0.49662628 0.91763042 -28.454590 52.576350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91774693-0.91763042) × R
    0.000116510000000014 × 6371000     		dl = 742.28521000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91774693-0.91763042) × R
    0.000116510000000014 × 6371000     		dr = 742.28521000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49681803--0.49662628) × cos(0.91774693) × R
    0.000191750000000046 × 0.607611163599749 × 6371000     		do = 742.281646191803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49681803--0.49662628) × cos(0.91763042) × R
    0.000191750000000046 × 0.607703695754182 × 6371000     		du = 742.394687103546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91774693)-sin(0.91763042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607611163599749-0.607703695754182)×R²
    abs(-0.49662628--0.49681803)×9.25321544335e-05×R²
    0.000191750000000046×9.25321544335e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.25321544335e-05×40589641000000     		ar = 551026.642544661m²