Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13792 / 4640
↖ ↑ ↗
← N 82.285331°
W104.238281°		 ← 81.99 m → N 82.285331°
W104.232788°		 →
↑
81.99 m
↓
↑
81.99 m
↓
N 82.284594°
W104.238281°		 ← 82 m →
6 723 m²		 N 82.284594°
W104.232788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210456848144531 y=0.0708084106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210456848144531 × 216)
    floor (0.210456848144531 × 65536)
    floor (13792.5)     		tx = 13792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708084106445312 × 216)
    floor (0.0708084106445312 × 65536)
    floor (4640.5)     		ty = 4640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13792 / 4640 ti = "16/13792/4640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13792/4640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13792 ÷ 216
    13792 ÷ 65536     		x = 0.21044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4640 ÷ 216
    4640 ÷ 65536     		y = 0.07080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21044921875 × 2 - 1) × π
    -0.5791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81930121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07080078125 × 2 - 1) × π
    0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81930121} λ = -1.81930121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69673822502588))-π/2
    2×atan(14.8312764563624)-π/2
    2×1.5034731437515-π/2
    3.00694628750299-1.57079632675     		φ = 1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81930121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13792 KachelY 4640 -1.81930121 1.43614996 -104.238281 82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 13793 KachelY 4640 -1.81920534 1.43614996 -104.232788 82.285331
    Unten links KachelX 13792 KachelY + 1 4641 -1.81930121 1.43613709 -104.238281 82.284594
    Unten rechts KachelX + 1 13793 KachelY + 1 4641 -1.81920534 1.43613709 -104.232788 82.284594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43614996-1.43613709) × R
    1.28700000001647e-05 × 6371000     		dl = 81.9947700010493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43614996-1.43613709) × R
    1.28700000001647e-05 × 6371000     		dr = 81.9947700010493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81930121--1.81920534) × cos(1.43614996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 81.9920812167797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81930121--1.81920534) × cos(1.43613709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134252640486037 × 6371000     		du = 81.9998708990764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43614996)-sin(1.43613709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134252640486037)×R²
    abs(-1.81920534--1.81930121)×1.27535007728441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27535007728441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27535007728441e-05×40589641000000     		ar = 6723.24119794118m²