Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13792 / 3615
↖ ↑ ↗
← N 80.120449°
W 28.476563°		 ← 209.61 m → N 80.120449°
W 28.465576°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
N 80.118564°
W 28.476563°		 ← 209.65 m →
43 939 m²		 N 80.118564°
W 28.465576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420913696289062 y=0.110336303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420913696289062 × 215)
    floor (0.420913696289062 × 32768)
    floor (13792.5)     		tx = 13792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110336303710938 × 215)
    floor (0.110336303710938 × 32768)
    floor (3615.5)     		ty = 3615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13792 / 3615 ti = "15/13792/3615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13792/3615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13792 ÷ 215
    13792 ÷ 32768     		x = 0.4208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3615 ÷ 215
    3615 ÷ 32768     		y = 0.110321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    -0.158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49700978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110321044921875 × 2 - 1) × π
    0.77935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44842508499399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49700978} λ = -0.49700978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44842508499399))-π/2
    2×atan(11.5701104221587)-π/2
    2×1.48458098055964-π/2
    2.96916196111928-1.57079632675     		φ = 1.39836563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49700978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.476563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39836563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.120449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13792 KachelY 3615 -0.49700978 1.39836563 -28.476563 80.120449
    Oben rechts KachelX + 1 13793 KachelY 3615 -0.49681803 1.39836563 -28.465576 80.120449
    Unten links KachelX 13792 KachelY + 1 3616 -0.49700978 1.39833273 -28.476563 80.118564
    Unten rechts KachelX + 1 13793 KachelY + 1 3616 -0.49681803 1.39833273 -28.465576 80.118564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39836563-1.39833273) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39836563-1.39833273) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49700978--0.49681803) × cos(1.39836563) × R
    0.000191749999999991 × 0.171577504653301 × 6371000     		do = 209.60581410152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49700978--0.49681803) × cos(1.39833273) × R
    0.000191749999999991 × 0.171609916673991 × 6371000     		du = 209.645409898167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39836563)-sin(1.39833273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171577504653301-0.171609916673991)×R²
    abs(-0.49681803--0.49700978)×3.24120206903755e-05×R²
    0.000191749999999991×3.24120206903755e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.24120206903755e-05×40589641000000     		ar = 43938.765070272m²