Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13786 / 4243
↖ ↑ ↗
← N 78.863684°
W 28.542480°		 ← 235.95 m → N 78.863684°
W 28.531494°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
N 78.861563°
W 28.542480°		 ← 236 m →
55 671 m²		 N 78.861563°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420730590820312 y=0.129501342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420730590820312 × 215)
    floor (0.420730590820312 × 32768)
    floor (13786.5)     		tx = 13786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129501342773438 × 215)
    floor (0.129501342773438 × 32768)
    floor (4243.5)     		ty = 4243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13786 / 4243 ti = "15/13786/4243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13786/4243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13786 ÷ 215
    13786 ÷ 32768     		x = 0.42071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4243 ÷ 215
    4243 ÷ 32768     		y = 0.129486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.1585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49816026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129486083984375 × 2 - 1) × π
    0.74102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32800759314841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49816026} λ = -0.49816026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32800759314841))-π/2
    2×atan(10.2574840784665)-π/2
    2×1.47361364045243-π/2
    2.94722728090485-1.57079632675     		φ = 1.37643095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49816026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.542480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37643095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.863684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13786 KachelY 4243 -0.49816026 1.37643095 -28.542480 78.863684
    Oben rechts KachelX + 1 13787 KachelY 4243 -0.49796851 1.37643095 -28.531494 78.863684
    Unten links KachelX 13786 KachelY + 1 4244 -0.49816026 1.37639392 -28.542480 78.861563
    Unten rechts KachelX + 1 13787 KachelY + 1 4244 -0.49796851 1.37639392 -28.531494 78.861563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37643095-1.37639392) × R
    3.70300000001045e-05 × 6371000     		dl = 235.918130000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37643095-1.37639392) × R
    3.70300000001045e-05 × 6371000     		dr = 235.918130000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49816026--0.49796851) × cos(1.37643095) × R
    0.000191750000000046 × 0.193143900368398 × 6371000     		do = 235.952169588181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49816026--0.49796851) × cos(1.37639392) × R
    0.000191750000000046 × 0.193180232977388 × 6371000     		du = 235.996554929379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37643095)-sin(1.37639392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193143900368398-0.193180232977388)×R²
    abs(-0.49796851--0.49816026)×3.63326089903304e-05×R²
    0.000191750000000046×3.63326089903304e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.63326089903304e-05×40589641000000     		ar = 55670.6302781163m²