Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13786 / 4238
↖ ↑ ↗
← N 78.874289°
W 28.542480°		 ← 235.73 m → N 78.874289°
W 28.531494°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
N 78.872169°
W 28.542480°		 ← 235.77 m →
55 573 m²		 N 78.872169°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420730590820312 y=0.129348754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420730590820312 × 215)
    floor (0.420730590820312 × 32768)
    floor (13786.5)     		tx = 13786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129348754882812 × 215)
    floor (0.129348754882812 × 32768)
    floor (4238.5)     		ty = 4238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13786 / 4238 ti = "15/13786/4238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13786/4238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13786 ÷ 215
    13786 ÷ 32768     		x = 0.42071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4238 ÷ 215
    4238 ÷ 32768     		y = 0.12933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.1585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49816026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12933349609375 × 2 - 1) × π
    0.7413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32896633114081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49816026} λ = -0.49816026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32896633114081))-π/2
    2×atan(10.2673230338956)-π/2
    2×1.47370618411355-π/2
    2.94741236822709-1.57079632675     		φ = 1.37661604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49816026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.542480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37661604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.874289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13786 KachelY 4238 -0.49816026 1.37661604 -28.542480 78.874289
    Oben rechts KachelX + 1 13787 KachelY 4238 -0.49796851 1.37661604 -28.531494 78.874289
    Unten links KachelX 13786 KachelY + 1 4239 -0.49816026 1.37657904 -28.542480 78.872169
    Unten rechts KachelX + 1 13787 KachelY + 1 4239 -0.49796851 1.37657904 -28.531494 78.872169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37661604-1.37657904) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dl = 235.727000000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37661604-1.37657904) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dr = 235.727000000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49816026--0.49796851) × cos(1.37661604) × R
    0.000191750000000046 × 0.19296229222417 × 6371000     		do = 235.730309951072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49816026--0.49796851) × cos(1.37657904) × R
    0.000191750000000046 × 0.192998596720477 × 6371000     		du = 235.774660948713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37661604)-sin(1.37657904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19296229222417-0.192998596720477)×R²
    abs(-0.49796851--0.49816026)×3.63044963071768e-05×R²
    0.000191750000000046×3.63044963071768e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.63044963071768e-05×40589641000000     		ar = 55573.2261442694m²