Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13786 / 3182
↖ ↑ ↗
← N 80.904143°
W 28.542480°		 ← 193.12 m → N 80.904143°
W 28.531494°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 80.902406°
W 28.542480°		 ← 193.16 m →
37 309 m²		 N 80.902406°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420730590820312 y=0.0971221923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420730590820312 × 215)
    floor (0.420730590820312 × 32768)
    floor (13786.5)     		tx = 13786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971221923828125 × 215)
    floor (0.0971221923828125 × 32768)
    floor (3182.5)     		ty = 3182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13786 / 3182 ti = "15/13786/3182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13786/3182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13786 ÷ 215
    13786 ÷ 32768     		x = 0.42071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3182 ÷ 215
    3182 ÷ 32768     		y = 0.09710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.1585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49816026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09710693359375 × 2 - 1) × π
    0.8057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53145179513593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49816026} λ = -0.49816026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53145179513593))-π/2
    2×atan(12.5717444917905)-π/2
    2×1.49141999859631-π/2
    2.98283999719262-1.57079632675     		φ = 1.41204367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49816026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.542480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41204367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.904143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13786 KachelY 3182 -0.49816026 1.41204367 -28.542480 80.904143
    Oben rechts KachelX + 1 13787 KachelY 3182 -0.49796851 1.41204367 -28.531494 80.904143
    Unten links KachelX 13786 KachelY + 1 3183 -0.49816026 1.41201335 -28.542480 80.902406
    Unten rechts KachelX + 1 13787 KachelY + 1 3183 -0.49796851 1.41201335 -28.531494 80.902406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41204367-1.41201335) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41204367-1.41201335) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49816026--0.49796851) × cos(1.41204367) × R
    0.000191750000000046 × 0.158086671750953 × 6371000     		do = 193.124883112876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49816026--0.49796851) × cos(1.41201335) × R
    0.000191750000000046 × 0.158116610411554 × 6371000     		du = 193.16145735576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41204367)-sin(1.41201335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158086671750953-0.158116610411554)×R²
    abs(-0.49796851--0.49816026)×2.99386606017749e-05×R²
    0.000191750000000046×2.99386606017749e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.99386606017749e-05×40589641000000     		ar = 37309.218974014m²