Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13785 / 4249
↖ ↑ ↗
← N 78.850946°
W 28.553467°		 ← 236.22 m → N 78.850946°
W 28.542480°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
N 78.848821°
W 28.553467°		 ← 236.26 m →
55 809 m²		 N 78.848821°
W 28.542480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420700073242188 y=0.129684448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420700073242188 × 215)
    floor (0.420700073242188 × 32768)
    floor (13785.5)     		tx = 13785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129684448242188 × 215)
    floor (0.129684448242188 × 32768)
    floor (4249.5)     		ty = 4249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13785 / 4249 ti = "15/13785/4249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13785/4249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13785 ÷ 215
    13785 ÷ 32768     		x = 0.420684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4249 ÷ 215
    4249 ÷ 32768     		y = 0.129669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.15863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49835201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129669189453125 × 2 - 1) × π
    0.74066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32685710755753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49835201} λ = -0.49835201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32685710755753))-π/2
    2×atan(10.2456897767236)-π/2
    2×1.47350247308618-π/2
    2.94700494617237-1.57079632675     		φ = 1.37620862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49835201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.553467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37620862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.850946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13785 KachelY 4249 -0.49835201 1.37620862 -28.553467 78.850946
    Oben rechts KachelX + 1 13786 KachelY 4249 -0.49816026 1.37620862 -28.542480 78.850946
    Unten links KachelX 13785 KachelY + 1 4250 -0.49835201 1.37617154 -28.553467 78.848821
    Unten rechts KachelX + 1 13786 KachelY + 1 4250 -0.49816026 1.37617154 -28.542480 78.848821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37620862-1.37617154) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dl = 236.236680000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37620862-1.37617154) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dr = 236.236680000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49835201--0.49816026) × cos(1.37620862) × R
    0.000191749999999991 × 0.193362039217075 × 6371000     		do = 236.218656567606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49835201--0.49816026) × cos(1.37617154) × R
    0.000191749999999991 × 0.193398419290902 × 6371000     		du = 236.263099893712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37620862)-sin(1.37617154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193362039217075-0.193398419290902)×R²
    abs(-0.49816026--0.49835201)×3.6380073827641e-05×R²
    0.000191749999999991×3.6380073827641e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.6380073827641e-05×40589641000000     		ar = 55808.7607605655m²