Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13783 / 15890
↖ ↑ ↗
← N 79.423300°
W142.143860°		 ← 56.06 m → N 79.423300°
W142.141113°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.422796°
W142.143860°		 ← 56.06 m →
3 143 m²		 N 79.422796°
W142.141113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105159759521484 y=0.121234893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105159759521484 × 217)
    floor (0.105159759521484 × 131072)
    floor (13783.5)     		tx = 13783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121234893798828 × 217)
    floor (0.121234893798828 × 131072)
    floor (15890.5)     		ty = 15890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13783 / 15890 ti = "17/13783/15890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13783/15890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13783 ÷ 217
    13783 ÷ 131072     		x = 0.105155944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15890 ÷ 217
    15890 ÷ 131072     		y = 0.121231079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105155944824219 × 2 - 1) × π
    -0.789688110351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.48087837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121231079101562 × 2 - 1) × π
    0.757537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37987531853731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48087837} λ = -2.48087837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37987531853731))-π/2
    2×atan(10.8035557768181)-π/2
    2×1.47849720811607-π/2
    2.95699441623214-1.57079632675     		φ = 1.38619809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48087837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.143860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38619809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.423300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13783 KachelY 15890 -2.48087837 1.38619809 -142.143860 79.423300
    Oben rechts KachelX + 1 13784 KachelY 15890 -2.48083043 1.38619809 -142.141113 79.423300
    Unten links KachelX 13783 KachelY + 1 15891 -2.48087837 1.38618929 -142.143860 79.422796
    Unten rechts KachelX + 1 13784 KachelY + 1 15891 -2.48083043 1.38618929 -142.141113 79.422796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38619809-1.38618929) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38619809-1.38618929) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48087837--2.48083043) × cos(1.38619809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183551611074457 × 6371000     		do = 56.0613866405715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48087837--2.48083043) × cos(1.38618929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183560261556003 × 6371000     		du = 56.0640287202991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38619809)-sin(1.38618929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183551611074457-0.183560261556003)×R²
    abs(-2.48083043--2.48087837)×8.65048154616299e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65048154616299e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65048154616299e-06×40589641000000     		ar = 3143.14449367439m²