Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13781 / 10717
↖ ↑ ↗
← N 52.716331°
W 28.597412°		 ← 740.02 m → N 52.716331°
W 28.586426°		 →
↑
740.06 m
↓
↑
740.06 m
↓
N 52.709675°
W 28.597412°		 ← 740.14 m →
547 699 m²		 N 52.709675°
W 28.586426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420578002929688 y=0.327072143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420578002929688 × 215)
    floor (0.420578002929688 × 32768)
    floor (13781.5)     		tx = 13781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327072143554688 × 215)
    floor (0.327072143554688 × 32768)
    floor (10717.5)     		ty = 10717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13781 / 10717 ti = "15/13781/10717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13781/10717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13781 ÷ 215
    13781 ÷ 32768     		x = 0.420562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10717 ÷ 215
    10717 ÷ 32768     		y = 0.327056884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420562744140625 × 2 - 1) × π
    -0.15887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49911900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327056884765625 × 2 - 1) × π
    0.34588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08663364058743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49911900} λ = -0.49911900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08663364058743))-π/2
    2×atan(2.96427843094399)-π/2
    2×1.24543493559052-π/2
    2.49086987118103-1.57079632675     		φ = 0.92007354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49911900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.597412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92007354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.716331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13781 KachelY 10717 -0.49911900 0.92007354 -28.597412 52.716331
    Oben rechts KachelX + 1 13782 KachelY 10717 -0.49892725 0.92007354 -28.586426 52.716331
    Unten links KachelX 13781 KachelY + 1 10718 -0.49911900 0.91995738 -28.597412 52.709675
    Unten rechts KachelX + 1 13782 KachelY + 1 10718 -0.49892725 0.91995738 -28.586426 52.709675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92007354-0.91995738) × R
    0.000116159999999921 × 6371000     		dl = 740.055359999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92007354-0.91995738) × R
    0.000116159999999921 × 6371000     		dr = 740.055359999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49911900--0.49892725) × cos(0.92007354) × R
    0.000191749999999991 × 0.605761646462201 × 6371000     		do = 740.022203462811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49911900--0.49892725) × cos(0.91995738) × R
    0.000191749999999991 × 0.605854064634273 × 6371000     		du = 740.135105129228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92007354)-sin(0.91995738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605761646462201-0.605854064634273)×R²
    abs(-0.49892725--0.49911900)×9.24181720726169e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24181720726169e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24181720726169e-05×40589641000000     		ar = 547699.175548938m²