Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13780 / 4304
↖ ↑ ↗
← N 78.733501°
W 28.608399°		 ← 238.68 m → N 78.733501°
W 28.597412°		 →
↑
238.72 m
↓
↑
238.72 m
↓
N 78.731354°
W 28.608399°		 ← 238.72 m →
56 982 m²		 N 78.731354°
W 28.597412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420547485351562 y=0.131362915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420547485351562 × 215)
    floor (0.420547485351562 × 32768)
    floor (13780.5)     		tx = 13780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131362915039062 × 215)
    floor (0.131362915039062 × 32768)
    floor (4304.5)     		ty = 4304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13780 / 4304 ti = "15/13780/4304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13780/4304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13780 ÷ 215
    13780 ÷ 32768     		x = 0.4205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4304 ÷ 215
    4304 ÷ 32768     		y = 0.13134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    0.7373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31631098964111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49931075} λ = -0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31631098964111))-π/2
    2×atan(10.1382052924316)-π/2
    2×1.47247757113172-π/2
    2.94495514226343-1.57079632675     		φ = 1.37415882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37415882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.733501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13780 KachelY 4304 -0.49931075 1.37415882 -28.608399 78.733501
    Oben rechts KachelX + 1 13781 KachelY 4304 -0.49911900 1.37415882 -28.597412 78.733501
    Unten links KachelX 13780 KachelY + 1 4305 -0.49931075 1.37412135 -28.608399 78.731354
    Unten rechts KachelX + 1 13781 KachelY + 1 4305 -0.49911900 1.37412135 -28.597412 78.731354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37415882-1.37412135) × R
    3.74699999998729e-05 × 6371000     		dl = 238.72136999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37415882-1.37412135) × R
    3.74699999998729e-05 × 6371000     		dr = 238.72136999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49931075--0.49911900) × cos(1.37415882) × R
    0.000191750000000046 × 0.19537274668399 × 6371000     		do = 238.675015729527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49931075--0.49911900) × cos(1.37412135) × R
    0.000191750000000046 × 0.195409494464722 × 6371000     		du = 238.719908260819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37415882)-sin(1.37412135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19537274668399-0.195409494464722)×R²
    abs(-0.49911900--0.49931075)×3.67477807315386e-05×R²
    0.000191750000000046×3.67477807315386e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.67477807315386e-05×40589641000000     		ar = 56982.1851489778m²