Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13780 / 4301
↖ ↑ ↗
← N 78.739938°
W 28.608399°		 ← 238.54 m → N 78.739938°
W 28.597412°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
N 78.737793°
W 28.608399°		 ← 238.59 m →
56 904 m²		 N 78.737793°
W 28.597412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420547485351562 y=0.131271362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420547485351562 × 215)
    floor (0.420547485351562 × 32768)
    floor (13780.5)     		tx = 13780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131271362304688 × 215)
    floor (0.131271362304688 × 32768)
    floor (4301.5)     		ty = 4301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13780 / 4301 ti = "15/13780/4301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13780/4301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13780 ÷ 215
    13780 ÷ 32768     		x = 0.4205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4301 ÷ 215
    4301 ÷ 32768     		y = 0.131256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131256103515625 × 2 - 1) × π
    0.73748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31688623243655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49931075} λ = -0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31688623243655))-π/2
    2×atan(10.1440388996942)-π/2
    2×1.47253374866738-π/2
    2.94506749733476-1.57079632675     		φ = 1.37427117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37427117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.739938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13780 KachelY 4301 -0.49931075 1.37427117 -28.608399 78.739938
    Oben rechts KachelX + 1 13781 KachelY 4301 -0.49911900 1.37427117 -28.597412 78.739938
    Unten links KachelX 13780 KachelY + 1 4302 -0.49931075 1.37423373 -28.608399 78.737793
    Unten rechts KachelX + 1 13781 KachelY + 1 4302 -0.49911900 1.37423373 -28.597412 78.737793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37427117-1.37423373) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dl = 238.530240000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37427117-1.37423373) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dr = 238.530240000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49931075--0.49911900) × cos(1.37427117) × R
    0.000191750000000046 × 0.195262560541241 × 6371000     		do = 238.540408012738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49931075--0.49911900) × cos(1.37423373) × R
    0.000191750000000046 × 0.195299279721979 × 6371000     		du = 238.585265605155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37427117)-sin(1.37423373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195262560541241-0.195299279721979)×R²
    abs(-0.49911900--0.49931075)×3.67191807377487e-05×R²
    0.000191750000000046×3.67191807377487e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.67191807377487e-05×40589641000000     		ar = 56904.4507253405m²