Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13778 / 10718
↖ ↑ ↗
← N 52.709675°
W 28.630371°		 ← 740.14 m → N 52.709675°
W 28.619385°		 →
↑
740.18 m
↓
↑
740.18 m
↓
N 52.703019°
W 28.630371°		 ← 740.25 m →
547 877 m²		 N 52.703019°
W 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420486450195312 y=0.327102661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420486450195312 × 215)
    floor (0.420486450195312 × 32768)
    floor (13778.5)     		tx = 13778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327102661132812 × 215)
    floor (0.327102661132812 × 32768)
    floor (10718.5)     		ty = 10718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13778 / 10718 ti = "15/13778/10718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13778/10718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13778 ÷ 215
    13778 ÷ 32768     		x = 0.42047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10718 ÷ 215
    10718 ÷ 32768     		y = 0.32708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42047119140625 × 2 - 1) × π
    -0.1590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49969424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32708740234375 × 2 - 1) × π
    0.3458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08644189298895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49969424} λ = -0.49969424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08644189298895))-π/2
    2×atan(2.96371009216417)-π/2
    2×1.24537685449009-π/2
    2.49075370898019-1.57079632675     		φ = 0.91995738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49969424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91995738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.709675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13778 KachelY 10718 -0.49969424 0.91995738 -28.630371 52.709675
    Oben rechts KachelX + 1 13779 KachelY 10718 -0.49950249 0.91995738 -28.619385 52.709675
    Unten links KachelX 13778 KachelY + 1 10719 -0.49969424 0.91984120 -28.630371 52.703019
    Unten rechts KachelX + 1 13779 KachelY + 1 10719 -0.49950249 0.91984120 -28.619385 52.703019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91995738-0.91984120) × R
    0.000116180000000021 × 6371000     		dl = 740.182780000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91995738-0.91984120) × R
    0.000116180000000021 × 6371000     		dr = 740.182780000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49969424--0.49950249) × cos(0.91995738) × R
    0.000191749999999991 × 0.605854064634273 × 6371000     		do = 740.135105129228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49969424--0.49950249) × cos(0.91984120) × R
    0.000191749999999991 × 0.605946490541577 × 6371000     		du = 740.248016245308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91995738)-sin(0.91984120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605854064634273-0.605946490541577)×R²
    abs(-0.49950249--0.49969424)×9.24259073037392e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24259073037392e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24259073037392e-05×40589641000000     		ar = 547877.047738397m²