Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13776 / 4686
↖ ↑ ↗
← N 77.883427°
W 28.652344°		 ← 256.42 m → N 77.883427°
W 28.641357°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
N 77.881121°
W 28.652344°		 ← 256.47 m →
65 762 m²		 N 77.881121°
W 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420425415039062 y=0.143020629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420425415039062 × 215)
    floor (0.420425415039062 × 32768)
    floor (13776.5)     		tx = 13776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143020629882812 × 215)
    floor (0.143020629882812 × 32768)
    floor (4686.5)     		ty = 4686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13776 / 4686 ti = "15/13776/4686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13776/4686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13776 ÷ 215
    13776 ÷ 32768     		x = 0.42041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4686 ÷ 215
    4686 ÷ 32768     		y = 0.14300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14300537109375 × 2 - 1) × π
    0.7139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24306340702167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50007774} λ = -0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24306340702167))-π/2
    2×atan(9.42215100519031)-π/2
    2×1.46505927755917-π/2
    2.93011855511834-1.57079632675     		φ = 1.35932223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35932223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.883427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13776 KachelY 4686 -0.50007774 1.35932223 -28.652344 77.883427
    Oben rechts KachelX + 1 13777 KachelY 4686 -0.49988599 1.35932223 -28.641357 77.883427
    Unten links KachelX 13776 KachelY + 1 4687 -0.50007774 1.35928198 -28.652344 77.881121
    Unten rechts KachelX + 1 13777 KachelY + 1 4687 -0.49988599 1.35928198 -28.641357 77.881121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35932223-1.35928198) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35932223-1.35928198) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50007774--0.49988599) × cos(1.35932223) × R
    0.000191750000000046 × 0.209901385073061 × 6371000     		do = 256.423770634677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50007774--0.49988599) × cos(1.35928198) × R
    0.000191750000000046 × 0.20994073823615 × 6371000     		du = 256.471846003318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35932223)-sin(1.35928198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209901385073061-0.20994073823615)×R²
    abs(-0.49988599--0.50007774)×3.93531630894506e-05×R²
    0.000191750000000046×3.93531630894506e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.93531630894506e-05×40589641000000     		ar = 65761.6167281196m²