Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13774 / 4230
↖ ↑ ↗
← N 78.891236°
W 28.674316°		 ← 235.38 m → N 78.891236°
W 28.663330°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
N 78.889119°
W 28.674316°		 ← 235.42 m →
55 415 m²		 N 78.889119°
W 28.663330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420364379882812 y=0.129104614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420364379882812 × 215)
    floor (0.420364379882812 × 32768)
    floor (13774.5)     		tx = 13774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129104614257812 × 215)
    floor (0.129104614257812 × 32768)
    floor (4230.5)     		ty = 4230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13774 / 4230 ti = "15/13774/4230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13774/4230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13774 ÷ 215
    13774 ÷ 32768     		x = 0.42034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4230 ÷ 215
    4230 ÷ 32768     		y = 0.12908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50046123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12908935546875 × 2 - 1) × π
    0.7418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33050031192865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50046123} λ = -0.50046123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33050031192865))-π/2
    2×atan(10.2830849963551)-π/2
    2×1.47385407300932-π/2
    2.94770814601865-1.57079632675     		φ = 1.37691182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50046123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37691182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.891236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13774 KachelY 4230 -0.50046123 1.37691182 -28.674316 78.891236
    Oben rechts KachelX + 1 13775 KachelY 4230 -0.50026948 1.37691182 -28.663330 78.891236
    Unten links KachelX 13774 KachelY + 1 4231 -0.50046123 1.37687487 -28.674316 78.889119
    Unten rechts KachelX + 1 13775 KachelY + 1 4231 -0.50026948 1.37687487 -28.663330 78.889119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37691182-1.37687487) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dl = 235.408449999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37691182-1.37687487) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dr = 235.408449999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50046123--0.50026948) × cos(1.37691182) × R
    0.000191749999999935 × 0.192672062625844 × 6371000     		do = 235.375754082109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50046123--0.50026948) × cos(1.37687487) × R
    0.000191749999999935 × 0.19270832016971 × 6371000     		du = 235.420047720804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37691182)-sin(1.37687487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192672062625844-0.19270832016971)×R²
    abs(-0.50026948--0.50046123)×3.6257543865964e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6257543865964e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6257543865964e-05×40589641000000     		ar = 55414.6549907919m²