Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13773 / 10712
↖ ↑ ↗
← N 52.749594°
W 28.685303°		 ← 739.46 m → N 52.749594°
W 28.674316°		 →
↑
739.48 m
↓
↑
739.48 m
↓
N 52.742943°
W 28.685303°		 ← 739.57 m →
546 857 m²		 N 52.742943°
W 28.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420333862304688 y=0.326919555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420333862304688 × 215)
    floor (0.420333862304688 × 32768)
    floor (13773.5)     		tx = 13773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326919555664062 × 215)
    floor (0.326919555664062 × 32768)
    floor (10712.5)     		ty = 10712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13773 / 10712 ti = "15/13773/10712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13773/10712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13773 ÷ 215
    13773 ÷ 32768     		x = 0.420318603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10712 ÷ 215
    10712 ÷ 32768     		y = 0.326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420318603515625 × 2 - 1) × π
    -0.15936279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50065298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326904296875 × 2 - 1) × π
    0.34619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08759237857983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50065298} λ = -0.50065298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08759237857983))-π/2
    2×atan(2.96712176008183)-π/2
    2×1.24572520819853-π/2
    2.49145041639706-1.57079632675     		φ = 0.92065409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50065298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.685303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92065409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.749594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13773 KachelY 10712 -0.50065298 0.92065409 -28.685303 52.749594
    Oben rechts KachelX + 1 13774 KachelY 10712 -0.50046123 0.92065409 -28.674316 52.749594
    Unten links KachelX 13773 KachelY + 1 10713 -0.50065298 0.92053802 -28.685303 52.742943
    Unten rechts KachelX + 1 13774 KachelY + 1 10713 -0.50046123 0.92053802 -28.674316 52.742943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92065409-0.92053802) × R
    0.000116070000000024 × 6371000     		dl = 739.481970000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92065409-0.92053802) × R
    0.000116070000000024 × 6371000     		dr = 739.481970000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50065298--0.50046123) × cos(0.92065409) × R
    0.000191750000000046 × 0.605299632021777 × 6371000     		do = 739.457788488537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50065298--0.50046123) × cos(0.92053802) × R
    0.000191750000000046 × 0.605392019398481 × 6371000     		du = 739.570652534123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92065409)-sin(0.92053802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605299632021777-0.605392019398481)×R²
    abs(-0.50046123--0.50065298)×9.23873767035843e-05×R²
    0.000191750000000046×9.23873767035843e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.23873767035843e-05×40589641000000     		ar = 546857.433241321m²