Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13772 / 4732
↖ ↑ ↗
← N 77.776890°
W 28.696289°		 ← 258.64 m → N 77.776890°
W 28.685303°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 77.774564°
W 28.696289°		 ← 258.69 m →
66 908 m²		 N 77.774564°
W 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420303344726562 y=0.144424438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420303344726562 × 215)
    floor (0.420303344726562 × 32768)
    floor (13772.5)     		tx = 13772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144424438476562 × 215)
    floor (0.144424438476562 × 32768)
    floor (4732.5)     		ty = 4732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13772 / 4732 ti = "15/13772/4732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13772/4732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13772 ÷ 215
    13772 ÷ 32768     		x = 0.4202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4732 ÷ 215
    4732 ÷ 32768     		y = 0.1444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50084473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1444091796875 × 2 - 1) × π
    0.711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23424301749158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50084473} λ = -0.50084473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23424301749158))-π/2
    2×atan(9.33940940611594)-π/2
    2×1.46412956900263-π/2
    2.92825913800526-1.57079632675     		φ = 1.35746281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50084473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35746281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.776890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13772 KachelY 4732 -0.50084473 1.35746281 -28.696289 77.776890
    Oben rechts KachelX + 1 13773 KachelY 4732 -0.50065298 1.35746281 -28.685303 77.776890
    Unten links KachelX 13772 KachelY + 1 4733 -0.50084473 1.35742221 -28.696289 77.774564
    Unten rechts KachelX + 1 13773 KachelY + 1 4733 -0.50065298 1.35742221 -28.685303 77.774564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35746281-1.35742221) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35746281-1.35742221) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50084473--0.50065298) × cos(1.35746281) × R
    0.000191749999999935 × 0.211719018051072 × 6371000     		do = 258.644262422561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50084473--0.50065298) × cos(1.35742221) × R
    0.000191749999999935 × 0.211758697498007 × 6371000     		du = 258.692736392354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35746281)-sin(1.35742221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211719018051072-0.211758697498007)×R²
    abs(-0.50065298--0.50084473)×3.9679446934282e-05×R²
    0.000191749999999935×3.9679446934282e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.9679446934282e-05×40589641000000     		ar = 66907.8666043109m²