Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13772 / 3658
↖ ↑ ↗
← N 80.039064°
W 28.696289°		 ← 211.32 m → N 80.039064°
W 28.685303°		 →
↑
211.33 m
↓
↑
211.33 m
↓
N 80.037163°
W 28.696289°		 ← 211.36 m →
44 661 m²		 N 80.037163°
W 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420303344726562 y=0.111648559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420303344726562 × 215)
    floor (0.420303344726562 × 32768)
    floor (13772.5)     		tx = 13772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111648559570312 × 215)
    floor (0.111648559570312 × 32768)
    floor (3658.5)     		ty = 3658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13772 / 3658 ti = "15/13772/3658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13772/3658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13772 ÷ 215
    13772 ÷ 32768     		x = 0.4202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3658 ÷ 215
    3658 ÷ 32768     		y = 0.11163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50084473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11163330078125 × 2 - 1) × π
    0.7767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44017993825934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50084473} λ = -0.50084473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44017993825934))-π/2
    2×atan(11.4751053675223)-π/2
    2×1.48387075934902-π/2
    2.96774151869804-1.57079632675     		φ = 1.39694519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50084473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39694519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.039064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13772 KachelY 3658 -0.50084473 1.39694519 -28.696289 80.039064
    Oben rechts KachelX + 1 13773 KachelY 3658 -0.50065298 1.39694519 -28.685303 80.039064
    Unten links KachelX 13772 KachelY + 1 3659 -0.50084473 1.39691202 -28.696289 80.037163
    Unten rechts KachelX + 1 13773 KachelY + 1 3659 -0.50065298 1.39691202 -28.685303 80.037163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39694519-1.39691202) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dl = 211.326070000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39694519-1.39691202) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dr = 211.326070000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50084473--0.50065298) × cos(1.39694519) × R
    0.000191749999999935 × 0.172976706853336 × 6371000     		do = 211.315134427707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50084473--0.50065298) × cos(1.39691202) × R
    0.000191749999999935 × 0.173009376750786 × 6371000     		du = 211.355045256726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39694519)-sin(1.39691202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172976706853336-0.173009376750786)×R²
    abs(-0.50065298--0.50084473)×3.26698974501549e-05×R²
    0.000191749999999935×3.26698974501549e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.26698974501549e-05×40589641000000     		ar = 44660.6139938121m²