Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13771 / 10707
↖ ↑ ↗
← N 52.782831°
W 28.707275°		 ← 738.86 m → N 52.782831°
W 28.696289°		 →
↑
738.91 m
↓
↑
738.91 m
↓
N 52.776186°
W 28.707275°		 ← 738.97 m →
545 988 m²		 N 52.776186°
W 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420272827148438 y=0.326766967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420272827148438 × 215)
    floor (0.420272827148438 × 32768)
    floor (13771.5)     		tx = 13771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326766967773438 × 215)
    floor (0.326766967773438 × 32768)
    floor (10707.5)     		ty = 10707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13771 / 10707 ti = "15/13771/10707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13771/10707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13771 ÷ 215
    13771 ÷ 32768     		x = 0.420257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10707 ÷ 215
    10707 ÷ 32768     		y = 0.326751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326751708984375 × 2 - 1) × π
    0.34649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08855111657224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50103647} λ = -0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08855111657224))-π/2
    2×atan(2.96996781653453)-π/2
    2×1.24601525936858-π/2
    2.49203051873717-1.57079632675     		φ = 0.92123419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92123419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.782831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13771 KachelY 10707 -0.50103647 0.92123419 -28.707275 52.782831
    Oben rechts KachelX + 1 13772 KachelY 10707 -0.50084473 0.92123419 -28.696289 52.782831
    Unten links KachelX 13771 KachelY + 1 10708 -0.50103647 0.92111821 -28.707275 52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 13772 KachelY + 1 10708 -0.50084473 0.92111821 -28.696289 52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92123419-0.92111821) × R
    0.000115979999999904 × 6371000     		dl = 738.908579999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92123419-0.92111821) × R
    0.000115979999999904 × 6371000     		dr = 738.908579999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50103647--0.50084473) × cos(0.92123419) × R
    0.000191739999999996 × 0.60483777192918 × 6371000     		do = 738.855027856768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50103647--0.50084473) × cos(0.92111821) × R
    0.000191739999999996 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 738.967848243596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92123419)-sin(0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60483777192918-0.604930128384539)×R²
    abs(-0.50084473--0.50103647)×9.23564553590994e-05×R²
    0.000191739999999996×9.23564553590994e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.23564553590994e-05×40589641000000     		ar = 545988.002046831m²