Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13770 / 15818
↖ ↑ ↗
← N 79.459537°
W142.179566°		 ← 55.87 m → N 79.459537°
W142.176819°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.459034°
W142.179566°		 ← 55.87 m →
3 122 m²		 N 79.459034°
W142.176819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105060577392578 y=0.120685577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105060577392578 × 217)
    floor (0.105060577392578 × 131072)
    floor (13770.5)     		tx = 13770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120685577392578 × 217)
    floor (0.120685577392578 × 131072)
    floor (15818.5)     		ty = 15818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13770 / 15818 ti = "17/13770/15818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13770/15818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13770 ÷ 217
    13770 ÷ 131072     		x = 0.105056762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15818 ÷ 217
    15818 ÷ 131072     		y = 0.120681762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105056762695312 × 2 - 1) × π
    -0.789886474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.48150155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120681762695312 × 2 - 1) × π
    0.758636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38332677530995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48150155} λ = -2.48150155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38332677530995))-π/2
    2×atan(10.8409082056391)-π/2
    2×1.47881343157401-π/2
    2.95762686314802-1.57079632675     		φ = 1.38683054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48150155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.179566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38683054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.459537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13770 KachelY 15818 -2.48150155 1.38683054 -142.179566 79.459537
    Oben rechts KachelX + 1 13771 KachelY 15818 -2.48145361 1.38683054 -142.176819 79.459537
    Unten links KachelX 13770 KachelY + 1 15819 -2.48150155 1.38682177 -142.179566 79.459034
    Unten rechts KachelX + 1 13771 KachelY + 1 15819 -2.48145361 1.38682177 -142.176819 79.459034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38683054-1.38682177) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38683054-1.38682177) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48150155--2.48145361) × cos(1.38683054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182929869684767 × 6371000     		do = 55.8714908165368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48150155--2.48145361) × cos(1.38682177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182938491692443 × 6371000     		du = 55.8741241996118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38683054)-sin(1.38682177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182929869684767-0.182938491692443)×R²
    abs(-2.48145361--2.48150155)×8.62200767684507e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62200767684507e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62200767684507e-06×40589641000000     		ar = 3121.81880867674m²