Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13767 / 4183
↖ ↑ ↗
← N 78.990285°
W 28.751221°		 ← 233.30 m → N 78.990285°
W 28.740235°		 →
↑
233.31 m
↓
↑
233.31 m
↓
N 78.988187°
W 28.751221°		 ← 233.35 m →
54 436 m²		 N 78.988187°
W 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420150756835938 y=0.127670288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420150756835938 × 215)
    floor (0.420150756835938 × 32768)
    floor (13767.5)     		tx = 13767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127670288085938 × 215)
    floor (0.127670288085938 × 32768)
    floor (4183.5)     		ty = 4183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13767 / 4183 ti = "15/13767/4183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13767/4183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13767 ÷ 215
    13767 ÷ 32768     		x = 0.420135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4183 ÷ 215
    4183 ÷ 32768     		y = 0.127655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.15972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50180347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127655029296875 × 2 - 1) × π
    0.74468994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33951244905722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50180347} λ = -0.50180347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33951244905722))-π/2
    2×atan(10.3761764146987)-π/2
    2×1.47471843855829-π/2
    2.94943687711657-1.57079632675     		φ = 1.37864055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50180347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37864055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.990285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13767 KachelY 4183 -0.50180347 1.37864055 -28.751221 78.990285
    Oben rechts KachelX + 1 13768 KachelY 4183 -0.50161172 1.37864055 -28.740235 78.990285
    Unten links KachelX 13767 KachelY + 1 4184 -0.50180347 1.37860393 -28.751221 78.988187
    Unten rechts KachelX + 1 13768 KachelY + 1 4184 -0.50161172 1.37860393 -28.740235 78.988187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37864055-1.37860393) × R
    3.66200000001538e-05 × 6371000     		dl = 233.30602000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37864055-1.37860393) × R
    3.66200000001538e-05 × 6371000     		dr = 233.30602000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50180347--0.50161172) × cos(1.37864055) × R
    0.000191750000000046 × 0.190975436430572 × 6371000     		do = 233.303088929523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50180347--0.50161172) × cos(1.37860393) × R
    0.000191750000000046 × 0.191011382304673 × 6371000     		du = 233.3470018202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37864055)-sin(1.37860393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190975436430572-0.191011382304673)×R²
    abs(-0.50161172--0.50180347)×3.59458741004681e-05×R²
    0.000191750000000046×3.59458741004681e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.59458741004681e-05×40589641000000     		ar = 54436.1377094735m²