Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13767 / 10710
↖ ↑ ↗
← N 52.762892°
W 28.751221°		 ← 739.23 m → N 52.762892°
W 28.740235°		 →
↑
739.23 m
↓
↑
739.23 m
↓
N 52.756243°
W 28.751221°		 ← 739.34 m →
546 502 m²		 N 52.756243°
W 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420150756835938 y=0.326858520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420150756835938 × 215)
    floor (0.420150756835938 × 32768)
    floor (13767.5)     		tx = 13767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326858520507812 × 215)
    floor (0.326858520507812 × 32768)
    floor (10710.5)     		ty = 10710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13767 / 10710 ti = "15/13767/10710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13767/10710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13767 ÷ 215
    13767 ÷ 32768     		x = 0.420135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10710 ÷ 215
    10710 ÷ 32768     		y = 0.32684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.15972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50180347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32684326171875 × 2 - 1) × π
    0.3463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08797587377679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50180347} λ = -0.50180347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08797587377679))-π/2
    2×atan(2.96825985523869)-π/2
    2×1.24584125523511-π/2
    2.49168251047023-1.57079632675     		φ = 0.92088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50180347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.762892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13767 KachelY 10710 -0.50180347 0.92088618 -28.751221 52.762892
    Oben rechts KachelX + 1 13768 KachelY 10710 -0.50161172 0.92088618 -28.740235 52.762892
    Unten links KachelX 13767 KachelY + 1 10711 -0.50180347 0.92077015 -28.751221 52.756243
    Unten rechts KachelX + 1 13768 KachelY + 1 10711 -0.50161172 0.92077015 -28.740235 52.756243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92088618-0.92077015) × R
    0.000116030000000045 × 6371000     		dl = 739.227130000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92088618-0.92077015) × R
    0.000116030000000045 × 6371000     		dr = 739.227130000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50180347--0.50161172) × cos(0.92088618) × R
    0.000191750000000046 × 0.605114872612289 × 6371000     		do = 739.2320791421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50180347--0.50161172) × cos(0.92077015) × R
    0.000191750000000046 × 0.605207244451008 × 6371000     		du = 739.344924205874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92088618)-sin(0.92077015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605114872612289-0.605207244451008)×R²
    abs(-0.50161172--0.50180347)×9.23718387187966e-05×R²
    0.000191750000000046×9.23718387187966e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.23718387187966e-05×40589641000000     		ar = 546502.117947978m²