Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13766 / 15819
↖ ↑ ↗
← N 79.459034°
W142.190552°		 ← 55.86 m → N 79.459034°
W142.187805°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.458532°
W142.190552°		 ← 55.87 m →
3 121 m²		 N 79.458532°
W142.187805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105030059814453 y=0.120693206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105030059814453 × 217)
    floor (0.105030059814453 × 131072)
    floor (13766.5)     		tx = 13766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120693206787109 × 217)
    floor (0.120693206787109 × 131072)
    floor (15819.5)     		ty = 15819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13766 / 15819 ti = "17/13766/15819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13766/15819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13766 ÷ 217
    13766 ÷ 131072     		x = 0.105026245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15819 ÷ 217
    15819 ÷ 131072     		y = 0.120689392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105026245117188 × 2 - 1) × π
    -0.789947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48169329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120689392089844 × 2 - 1) × π
    0.758621215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.38327883841033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48169329} λ = -2.48169329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38327883841033))-π/2
    2×atan(10.8403885385664)-π/2
    2×1.4788090469252-π/2
    2.95761809385041-1.57079632675     		φ = 1.38682177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48169329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.190552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38682177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.459034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13766 KachelY 15819 -2.48169329 1.38682177 -142.190552 79.459034
    Oben rechts KachelX + 1 13767 KachelY 15819 -2.48164536 1.38682177 -142.187805 79.459034
    Unten links KachelX 13766 KachelY + 1 15820 -2.48169329 1.38681300 -142.190552 79.458532
    Unten rechts KachelX + 1 13767 KachelY + 1 15820 -2.48164536 1.38681300 -142.187805 79.458532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38682177-1.38681300) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38682177-1.38681300) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48169329--2.48164536) × cos(1.38682177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182938491692443 × 6371000     		do = 55.8624691883769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48169329--2.48164536) × cos(1.38681300) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18294711368605 × 6371000     		du = 55.8651020178472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38682177)-sin(1.38681300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182938491692443-0.18294711368605)×R²
    abs(-2.48164536--2.48169329)×8.62199360651683e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62199360651683e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62199360651683e-06×40589641000000     		ar = 3121.31472176161m²