Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13766 / 10711
↖ ↑ ↗
← N 52.756243°
W 28.762207°		 ← 739.31 m → N 52.756243°
W 28.751221°		 →
↑
739.42 m
↓
↑
739.42 m
↓
N 52.749594°
W 28.762207°		 ← 739.42 m →
546 698 m²		 N 52.749594°
W 28.751221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420120239257812 y=0.326889038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420120239257812 × 215)
    floor (0.420120239257812 × 32768)
    floor (13766.5)     		tx = 13766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326889038085938 × 215)
    floor (0.326889038085938 × 32768)
    floor (10711.5)     		ty = 10711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13766 / 10711 ti = "15/13766/10711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13766/10711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13766 ÷ 215
    13766 ÷ 32768     		x = 0.42010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10711 ÷ 215
    10711 ÷ 32768     		y = 0.326873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.1597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50199521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326873779296875 × 2 - 1) × π
    0.34625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08778412617831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50199521} λ = -0.50199521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08778412617831))-π/2
    2×atan(2.96769075310351)-π/2
    2×1.2457832361453-π/2
    2.49156647229059-1.57079632675     		φ = 0.92077015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50199521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.762207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92077015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.756243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13766 KachelY 10711 -0.50199521 0.92077015 -28.762207 52.756243
    Oben rechts KachelX + 1 13767 KachelY 10711 -0.50180347 0.92077015 -28.751221 52.756243
    Unten links KachelX 13766 KachelY + 1 10712 -0.50199521 0.92065409 -28.762207 52.749594
    Unten rechts KachelX + 1 13767 KachelY + 1 10712 -0.50180347 0.92065409 -28.751221 52.749594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92077015-0.92065409) × R
    0.000116059999999973 × 6371000     		dl = 739.418259999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92077015-0.92065409) × R
    0.000116059999999973 × 6371000     		dr = 739.418259999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50199521--0.50180347) × cos(0.92077015) × R
    0.000191739999999996 × 0.605207244451008 × 6371000     		do = 739.306366452136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50199521--0.50180347) × cos(0.92065409) × R
    0.000191739999999996 × 0.605299632021777 × 6371000     		du = 739.419224848787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92077015)-sin(0.92065409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605207244451008-0.605299632021777)×R²
    abs(-0.50180347--0.50199521)×9.23875707689037e-05×R²
    0.000191739999999996×9.23875707689037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.23875707689037e-05×40589641000000     		ar = 546698.352481823m²