Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13765 / 4217
↖ ↑ ↗
← N 78.918720°
W 28.773193°		 ← 234.80 m → N 78.918720°
W 28.762207°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
N 78.916608°
W 28.773193°		 ← 234.84 m →
55 145 m²		 N 78.916608°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420089721679688 y=0.128707885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420089721679688 × 215)
    floor (0.420089721679688 × 32768)
    floor (13765.5)     		tx = 13765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128707885742188 × 215)
    floor (0.128707885742188 × 32768)
    floor (4217.5)     		ty = 4217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13765 / 4217 ti = "15/13765/4217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13765/4217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13765 ÷ 215
    13765 ÷ 32768     		x = 0.420074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4217 ÷ 215
    4217 ÷ 32768     		y = 0.128692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.15985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50218696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128692626953125 × 2 - 1) × π
    0.74261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33299303070889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50218696} λ = -0.50218696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33299303070889))-π/2
    2×atan(10.3087498097362)-π/2
    2×1.47409391818371-π/2
    2.94818783636742-1.57079632675     		φ = 1.37739151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50218696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.773193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37739151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.918720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13765 KachelY 4217 -0.50218696 1.37739151 -28.773193 78.918720
    Oben rechts KachelX + 1 13766 KachelY 4217 -0.50199521 1.37739151 -28.762207 78.918720
    Unten links KachelX 13765 KachelY + 1 4218 -0.50218696 1.37735465 -28.773193 78.916608
    Unten rechts KachelX + 1 13766 KachelY + 1 4218 -0.50199521 1.37735465 -28.762207 78.916608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37739151-1.37735465) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37739151-1.37735465) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50218696--0.50199521) × cos(1.37739151) × R
    0.000191749999999935 × 0.192201338330222 × 6371000     		do = 234.800698806649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50218696--0.50199521) × cos(1.37735465) × R
    0.000191749999999935 × 0.192237510963905 × 6371000     		du = 234.844888715732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37739151)-sin(1.37735465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192201338330222-0.192237510963905)×R²
    abs(-0.50199521--0.50218696)×3.61726336826629e-05×R²
    0.000191749999999935×3.61726336826629e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.61726336826629e-05×40589641000000     		ar = 55144.6248686299m²