Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13765 / 15820
↖ ↑ ↗
← N 79.458532°
W142.193298°		 ← 55.88 m → N 79.458532°
W142.190552°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.458029°
W142.193298°		 ← 55.88 m →
3 122 m²		 N 79.458029°
W142.190552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105022430419922 y=0.120700836181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105022430419922 × 217)
    floor (0.105022430419922 × 131072)
    floor (13765.5)     		tx = 13765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120700836181641 × 217)
    floor (0.120700836181641 × 131072)
    floor (15820.5)     		ty = 15820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13765 / 15820 ti = "17/13765/15820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13765/15820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13765 ÷ 217
    13765 ÷ 131072     		x = 0.105018615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15820 ÷ 217
    15820 ÷ 131072     		y = 0.120697021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105018615722656 × 2 - 1) × π
    -0.789962768554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.48174123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120697021484375 × 2 - 1) × π
    0.75860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38323090151071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48174123} λ = -2.48174123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38323090151071))-π/2
    2×atan(10.8398688964043)-π/2
    2×1.47880466206975-π/2
    2.95760932413951-1.57079632675     		φ = 1.38681300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48174123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.193298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38681300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.458532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13765 KachelY 15820 -2.48174123 1.38681300 -142.193298 79.458532
    Oben rechts KachelX + 1 13766 KachelY 15820 -2.48169329 1.38681300 -142.190552 79.458532
    Unten links KachelX 13765 KachelY + 1 15821 -2.48174123 1.38680423 -142.193298 79.458029
    Unten rechts KachelX + 1 13766 KachelY + 1 15821 -2.48169329 1.38680423 -142.190552 79.458029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38681300-1.38680423) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38681300-1.38680423) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48174123--2.48169329) × cos(1.38681300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18294711368605 × 6371000     		do = 55.8767575783893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48174123--2.48169329) × cos(1.38680423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182955735665586 × 6371000     		du = 55.8793909528692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38681300)-sin(1.38680423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18294711368605-0.182955735665586)×R²
    abs(-2.48169329--2.48174123)×8.62197953552246e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62197953552246e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62197953552246e-06×40589641000000     		ar = 3122.11308182544m²