Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13762 / 10719
↖ ↑ ↗
← N 52.703019°
W 28.806152°		 ← 740.21 m → N 52.703019°
W 28.795166°		 →
↑
740.31 m
↓
↑
740.31 m
↓
N 52.696361°
W 28.806152°		 ← 740.32 m →
548 026 m²		 N 52.696361°
W 28.795166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419998168945312 y=0.327133178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419998168945312 × 215)
    floor (0.419998168945312 × 32768)
    floor (13762.5)     		tx = 13762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327133178710938 × 215)
    floor (0.327133178710938 × 32768)
    floor (10719.5)     		ty = 10719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13762 / 10719 ti = "15/13762/10719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13762/10719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13762 ÷ 215
    13762 ÷ 32768     		x = 0.41998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10719 ÷ 215
    10719 ÷ 32768     		y = 0.327117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.1600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50276220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327117919921875 × 2 - 1) × π
    0.34576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08625014539047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50276220} λ = -0.50276220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08625014539047))-π/2
    2×atan(2.9631418623515)-π/2
    2×1.24531876452874-π/2
    2.49063752905748-1.57079632675     		φ = 0.91984120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50276220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.806152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91984120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.703019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13762 KachelY 10719 -0.50276220 0.91984120 -28.806152 52.703019
    Oben rechts KachelX + 1 13763 KachelY 10719 -0.50257046 0.91984120 -28.795166 52.703019
    Unten links KachelX 13762 KachelY + 1 10720 -0.50276220 0.91972500 -28.806152 52.696361
    Unten rechts KachelX + 1 13763 KachelY + 1 10720 -0.50257046 0.91972500 -28.795166 52.696361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91984120-0.91972500) × R
    0.000116200000000011 × 6371000     		dl = 740.310200000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91984120-0.91972500) × R
    0.000116200000000011 × 6371000     		dr = 740.310200000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50276220--0.50257046) × cos(0.91984120) × R
    0.000191739999999996 × 0.605946490541577 × 6371000     		do = 740.209411394415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50276220--0.50257046) × cos(0.91972500) × R
    0.000191739999999996 × 0.606038924178641 × 6371000     		du = 740.322326064526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91984120)-sin(0.91972500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605946490541577-0.606038924178641)×R²
    abs(-0.50257046--0.50276220)×9.24336370636825e-05×R²
    0.000191739999999996×9.24336370636825e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.24336370636825e-05×40589641000000     		ar = 548026.373948816m²