Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13761 / 4489
↖ ↑ ↗
← N 78.329426°
W 28.817139°		 ← 247.12 m → N 78.329426°
W 28.806152°		 →
↑
247.13 m
↓
↑
247.13 m
↓
N 78.327204°
W 28.817139°		 ← 247.16 m →
61 076 m²		 N 78.327204°
W 28.806152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419967651367188 y=0.137008666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419967651367188 × 215)
    floor (0.419967651367188 × 32768)
    floor (13761.5)     		tx = 13761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137008666992188 × 215)
    floor (0.137008666992188 × 32768)
    floor (4489.5)     		ty = 4489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13761 / 4489 ti = "15/13761/4489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13761/4489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13761 ÷ 215
    13761 ÷ 32768     		x = 0.419952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4489 ÷ 215
    4489 ÷ 32768     		y = 0.136993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.16009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50295395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136993408203125 × 2 - 1) × π
    0.72601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28083768392227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50295395} λ = -0.50295395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28083768392227))-π/2
    2×atan(9.78487360869766)-π/2
    2×1.46895135865034-π/2
    2.93790271730068-1.57079632675     		φ = 1.36710639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50295395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.817139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36710639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.329426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13761 KachelY 4489 -0.50295395 1.36710639 -28.817139 78.329426
    Oben rechts KachelX + 1 13762 KachelY 4489 -0.50276220 1.36710639 -28.806152 78.329426
    Unten links KachelX 13761 KachelY + 1 4490 -0.50295395 1.36706760 -28.817139 78.327204
    Unten rechts KachelX + 1 13762 KachelY + 1 4490 -0.50276220 1.36706760 -28.806152 78.327204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36710639-1.36706760) × R
    3.87900000000663e-05 × 6371000     		dl = 247.131090000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36710639-1.36706760) × R
    3.87900000000663e-05 × 6371000     		dr = 247.131090000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50295395--0.50276220) × cos(1.36710639) × R
    0.000191749999999935 × 0.202284353812664 × 6371000     		do = 247.118506278354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50295395--0.50276220) × cos(1.36706760) × R
    0.000191749999999935 × 0.20232234174821 × 6371000     		du = 247.164913831443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36710639)-sin(1.36706760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202284353812664-0.20232234174821)×R²
    abs(-0.50276220--0.50295395)×3.79879355460744e-05×R²
    0.000191749999999935×3.79879355460744e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.79879355460744e-05×40589641000000     		ar = 61076.4001983521m²