Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13760 / 15809
↖ ↑ ↗
← N 79.464057°
W142.207031°		 ← 55.84 m → N 79.464057°
W142.204285°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.463556°
W142.207031°		 ← 55.84 m →
3 116 m²		 N 79.463556°
W142.204285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104984283447266 y=0.120616912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104984283447266 × 217)
    floor (0.104984283447266 × 131072)
    floor (13760.5)     		tx = 13760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120616912841797 × 217)
    floor (0.120616912841797 × 131072)
    floor (15809.5)     		ty = 15809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13760 / 15809 ti = "17/13760/15809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13760/15809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13760 ÷ 217
    13760 ÷ 131072     		x = 0.10498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15809 ÷ 217
    15809 ÷ 131072     		y = 0.120613098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10498046875 × 2 - 1) × π
    -0.7900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48198091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120613098144531 × 2 - 1) × π
    0.758773803710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.38375820740653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48198091} λ = -2.48198091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38375820740653))-π/2
    2×atan(10.8455863304691)-π/2
    2×1.47885288411581-π/2
    2.95770576823163-1.57079632675     		φ = 1.38690944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48198091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38690944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.464057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13760 KachelY 15809 -2.48198091 1.38690944 -142.207031 79.464057
    Oben rechts KachelX + 1 13761 KachelY 15809 -2.48193298 1.38690944 -142.204285 79.464057
    Unten links KachelX 13760 KachelY + 1 15810 -2.48198091 1.38690068 -142.207031 79.463556
    Unten rechts KachelX + 1 13761 KachelY + 1 15810 -2.48193298 1.38690068 -142.204285 79.463556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38690944-1.38690068) × R
    8.75999999983001e-06 × 6371000     		dl = 55.809959998917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38690944-1.38690068) × R
    8.75999999983001e-06 × 6371000     		dr = 55.809959998917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48198091--2.48193298) × cos(1.38690944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182852300476832 × 6371000     		do = 55.8361496638094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48198091--2.48193298) × cos(1.38690068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182860912779675 × 6371000     		du = 55.8387795340888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38690944)-sin(1.38690068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182852300476832-0.182860912779675)×R²
    abs(-2.48193298--2.48198091)×8.61230284376902e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.61230284376902e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.61230284376902e-06×40589641000000     		ar = 3116.2866656195m²