Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13759 / 10691
↖ ↑ ↗
← N 76.264783°
W104.419556°		 ← 145.02 m → N 76.264783°
W104.414063°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
N 76.263478°
W104.419556°		 ← 145.04 m →
21 039 m²		 N 76.263478°
W104.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209953308105469 y=0.163139343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209953308105469 × 216)
    floor (0.209953308105469 × 65536)
    floor (13759.5)     		tx = 13759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163139343261719 × 216)
    floor (0.163139343261719 × 65536)
    floor (10691.5)     		ty = 10691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13759 / 10691 ti = "16/13759/10691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13759/10691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13759 ÷ 216
    13759 ÷ 65536     		x = 0.209945678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10691 ÷ 216
    10691 ÷ 65536     		y = 0.163131713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.209945678710938 × 2 - 1) × π
    -0.580108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.82246505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163131713867188 × 2 - 1) × π
    0.673736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11660586582396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82246505} λ = -1.82246505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11660586582396))-π/2
    2×atan(8.3029084229324)-π/2
    2×1.45093394135422-π/2
    2.90186788270843-1.57079632675     		φ = 1.33107156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82246505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.419556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33107156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.264783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13759 KachelY 10691 -1.82246505 1.33107156 -104.419556 76.264783
    Oben rechts KachelX + 1 13760 KachelY 10691 -1.82236918 1.33107156 -104.414063 76.264783
    Unten links KachelX 13759 KachelY + 1 10692 -1.82246505 1.33104879 -104.419556 76.263478
    Unten rechts KachelX + 1 13760 KachelY + 1 10692 -1.82236918 1.33104879 -104.414063 76.263478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33107156-1.33104879) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33107156-1.33104879) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82246505--1.82236918) × cos(1.33107156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237435272963072 × 6371000     		do = 145.022560892453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82246505--1.82236918) × cos(1.33104879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237457391756064 × 6371000     		du = 145.0360707807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33107156)-sin(1.33104879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237435272963072-0.237457391756064)×R²
    abs(-1.82236918--1.82246505)×2.21187929924371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21187929924371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21187929924371e-05×40589641000000     		ar = 21039.0649311423m²