Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13758 / 4669
↖ ↑ ↗
← N 77.922567°
W 28.850097°		 ← 255.59 m → N 77.922567°
W 28.839112°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 77.920268°
W 28.850097°		 ← 255.64 m →
65 354 m²		 N 77.920268°
W 28.839112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419876098632812 y=0.142501831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419876098632812 × 215)
    floor (0.419876098632812 × 32768)
    floor (13758.5)     		tx = 13758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142501831054688 × 215)
    floor (0.142501831054688 × 32768)
    floor (4669.5)     		ty = 4669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13758 / 4669 ti = "15/13758/4669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13758/4669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13758 ÷ 215
    13758 ÷ 32768     		x = 0.41986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4669 ÷ 215
    4669 ÷ 32768     		y = 0.142486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.1602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50352919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142486572265625 × 2 - 1) × π
    0.71502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24632311619583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50352919} λ = -0.50352919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24632311619583))-π/2
    2×atan(9.45291459019203)-π/2
    2×1.46540084168338-π/2
    2.93080168336676-1.57079632675     		φ = 1.36000536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50352919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.850097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36000536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.922567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13758 KachelY 4669 -0.50352919 1.36000536 -28.850097 77.922567
    Oben rechts KachelX + 1 13759 KachelY 4669 -0.50333745 1.36000536 -28.839112 77.922567
    Unten links KachelX 13758 KachelY + 1 4670 -0.50352919 1.35996523 -28.850097 77.920268
    Unten rechts KachelX + 1 13759 KachelY + 1 4670 -0.50333745 1.35996523 -28.839112 77.920268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36000536-1.35996523) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dl = 255.668229999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36000536-1.35996523) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dr = 255.668229999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50352919--0.50333745) × cos(1.36000536) × R
    0.000191739999999996 × 0.209233424534145 × 6371000     		do = 255.594433561341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50352919--0.50333745) × cos(1.35996523) × R
    0.000191739999999996 × 0.209272666117159 × 6371000     		du = 255.642370119303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36000536)-sin(1.35996523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209233424534145-0.209272666117159)×R²
    abs(-0.50333745--0.50352919)×3.92415830146042e-05×R²
    0.000191739999999996×3.92415830146042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.92415830146042e-05×40589641000000     		ar = 65353.5043625947m²