Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13758 / 4409
↖ ↑ ↗
← N 78.505886°
W 28.850097°		 ← 243.42 m → N 78.505886°
W 28.839112°		 →
↑
243.50 m
↓
↑
243.50 m
↓
N 78.503697°
W 28.850097°		 ← 243.47 m →
59 278 m²		 N 78.503697°
W 28.839112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419876098632812 y=0.134567260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419876098632812 × 215)
    floor (0.419876098632812 × 32768)
    floor (13758.5)     		tx = 13758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134567260742188 × 215)
    floor (0.134567260742188 × 32768)
    floor (4409.5)     		ty = 4409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13758 / 4409 ti = "15/13758/4409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13758/4409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13758 ÷ 215
    13758 ÷ 32768     		x = 0.41986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4409 ÷ 215
    4409 ÷ 32768     		y = 0.134552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.1602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50352919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134552001953125 × 2 - 1) × π
    0.73089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29617749180069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50352919} λ = -0.50352919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29617749180069))-π/2
    2×atan(9.93612883706794)-π/2
    2×1.47049126204413-π/2
    2.94098252408826-1.57079632675     		φ = 1.37018620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50352919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.850097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37018620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.505886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13758 KachelY 4409 -0.50352919 1.37018620 -28.850097 78.505886
    Oben rechts KachelX + 1 13759 KachelY 4409 -0.50333745 1.37018620 -28.839112 78.505886
    Unten links KachelX 13758 KachelY + 1 4410 -0.50352919 1.37014798 -28.850097 78.503697
    Unten rechts KachelX + 1 13759 KachelY + 1 4410 -0.50333745 1.37014798 -28.839112 78.503697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37018620-1.37014798) × R
    3.82199999999777e-05 × 6371000     		dl = 243.499619999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37018620-1.37014798) × R
    3.82199999999777e-05 × 6371000     		dr = 243.499619999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50352919--0.50333745) × cos(1.37018620) × R
    0.000191739999999996 × 0.19926725866009 × 6371000     		do = 243.420009102014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50352919--0.50333745) × cos(1.37014798) × R
    0.000191739999999996 × 0.199304712019393 × 6371000     		du = 243.46576120963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37018620)-sin(1.37014798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19926725866009-0.199304712019393)×R²
    abs(-0.50333745--0.50352919)×3.74533593033022e-05×R²
    0.000191739999999996×3.74533593033022e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.74533593033022e-05×40589641000000     		ar = 59278.2500346357m²