Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13757 / 3180
↖ ↑ ↗
← N 80.907615°
W 28.861084°		 ← 193.05 m → N 80.907615°
W 28.850097°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
N 80.905879°
W 28.861084°		 ← 193.09 m →
37 270 m²		 N 80.905879°
W 28.850097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419845581054688 y=0.0970611572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419845581054688 × 215)
    floor (0.419845581054688 × 32768)
    floor (13757.5)     		tx = 13757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970611572265625 × 215)
    floor (0.0970611572265625 × 32768)
    floor (3180.5)     		ty = 3180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13757 / 3180 ti = "15/13757/3180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13757/3180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13757 ÷ 215
    13757 ÷ 32768     		x = 0.419830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3180 ÷ 215
    3180 ÷ 32768     		y = 0.0970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.16033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50372094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970458984375 × 2 - 1) × π
    0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50372094} λ = -0.50372094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53183529033289))-π/2
    2×atan(12.5765666199929)-π/2
    2×1.4914503055973-π/2
    2.98290061119459-1.57079632675     		φ = 1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50372094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.861084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13757 KachelY 3180 -0.50372094 1.41210428 -28.861084 80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 13758 KachelY 3180 -0.50352919 1.41210428 -28.850097 80.907615
    Unten links KachelX 13757 KachelY + 1 3181 -0.50372094 1.41207398 -28.861084 80.905879
    Unten rechts KachelX + 1 13758 KachelY + 1 3181 -0.50352919 1.41207398 -28.850097 80.905879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41210428-1.41207398) × R
    3.03000000001497e-05 × 6371000     		dl = 193.041300000953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41210428-1.41207398) × R
    3.03000000001497e-05 × 6371000     		dr = 193.041300000953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50372094--0.50352919) × cos(1.41210428) × R
    0.000191750000000046 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 193.051770283196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50372094--0.50352919) × cos(1.41207398) × R
    0.000191750000000046 × 0.158056742819322 × 6371000     		du = 193.088320755286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41210428)-sin(1.41207398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.158056742819322)×R²
    abs(-0.50352919--0.50372094)×2.99192024889317e-05×R²
    0.000191750000000046×2.99192024889317e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.99192024889317e-05×40589641000000     		ar = 37270.4925805129m²